山西省运城市北张中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知对一组观察值(xi,yi)作出散点图后确定具有线性相关关系,若对于 = x+ ,求得 =0.51,=61.75,=38.14,则线性回归方程为 ( )
A. =0.51x+6.65
B. =6.65x+0.51
C. =0.51x+42.30
D. =42.30x+0.51
参考答案:
A
略
2. 已知抛物线,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 若方程表示双曲线,则实数k的取值范围是( )
A.2<k<10 B.k>10
C.k<2或k>10 D.以上答案均不对
参考答案:
C
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】根据题意,由双曲线的方程特点分析可得(k﹣2)(10﹣k)<0,解可得k的范围,即可得答案.
【解答】解:根据题意,方程表示双曲线,
必有(k﹣2)(10﹣k)<0,
解可得k<2或k>10;
故选:C.
4. 对于直线l:3x﹣y+6=0的截距,下列说法正确的是( )
A.在y轴上的截距是6 B.在x轴上的截距是2
C.在x轴上的截距是3 D.在y轴上的截距是﹣6
参考答案:
A
【考点】直线的截距式方程.
【分析】分别令x=0、y=0代入直线的方程,求出直线在坐标轴上的截距.
【解答】解:由题意得,直线l的方程为:3x﹣y+6=0,
令x=0得y=6;令y=0得x=﹣2,
所以在y轴上的截距是6,在x轴上的截距是﹣2,
故选:A.
5. 若,则的值为( )
A.-2 B. 2 C.-1 D. 1
参考答案:
C
略
6. 若函数在上单增,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如右图,若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子身高数据如下
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A.y=x﹣1 B.y=x+1 C. y=88+x D.y=176
参考答案:
C
【考点】线性回归方程.
【分析】求出这组数据的样本中心点,根据样本中心点一定在线性回归直线上,把样本中心点代入四个选项中对应的方程,只有y=88+x适合,得到结果.
【解答】解:∵=176,
=176,
∴本组数据的样本中心点是,
根据样本中心点一定在线性回归直线上,
把样本中心点代入四个选项中对应的方程,只有y=88+x适合,
故选C.
9. 动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )
A.(4,0) B.(0,-2) C.(0,2) D.(2,0)
参考答案:
D
10. 当输入a的值为2,b的值为﹣3时,右边程序运行的结果是( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
参考答案:
B
【考点】顺序结构.
【分析】根据语句判断算法的流程是:a=2,b=﹣3时,执行a=2﹣3=﹣1,可得答案.
【解答】解:由程序语句知:a=2,b=﹣3时,
执行a=2﹣3=﹣1,
∴输出a=﹣1.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,若、满足,且恒成立,则的最小值为 ▲ .
参考答案:
略
12. 函数的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(0,3)
试题分析:由于函数在上单调递增,且函数的一个零点在区间(1,2)内,则有且,解得.
考点:1.函数的单调性;2.零点存在定理
13. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,那么这个球的体积为 ______
参考答案:
14. 用数字1到9组成没有重复数字的三位数,且至多有一个数字是偶数,这样的四位数一共有 ▲ 个.(用数字作答)
参考答案:
300
①三位数中没有一个偶数数字,即在种任选三个,有种情况,即有个沒有一个偶数数字三位数;②三位数中只有一个偶数数字,在种选出两个,在中选出一个,有种取法,将取出的三个数字全排列,有种顺序,则有个只有一个偶数数字的三位数,所以至多有一个数字是偶数的三位数有个,故答案为300.
15. 设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是 。
参考答案:
-6
16. 已知圆x2+y2=r2(r>0)的内接四边形的面积的最大值为2r2,类比可得椭圆+=1(a>b>0)的内接四边形的面积的最大值为 .
参考答案:
2ab
将圆的方程转化为+=1,类比猜测椭圆+=1(a>b>0)的内接四边形的面积的最大值即可.
解:将圆的方程转化为+=1,
圆x2+y2=r2(r>0)的内接四边形的面积的最大值为2r2,
类比可得椭圆+=1(a>b>0)的内接四边形的面积的最大值为2ab,
故答案为:2ab.
17. 向平面区域内随机投入一点,则该点落在曲线下方的概率为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(1,),离心率e=,F1、F2为椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点.点P为椭圆C上的一动点,PQ与圆T相切于点Q.
①当Q(﹣,﹣)时,求直线PQ的方程;
②当PQ取得最大值为时,求圆T方程.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线和圆的方程的应用;椭圆的标准方程.
【专题】方程思想;待定系数法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)设圆T方程为x2+(y﹣t)2=1+t2,①把Q的坐标代入圆的方程,解得t,由切线的性质,可得所求直线的斜率,进而得到PQ的方程;
②设P(x0,y0)(﹣1≤y0≤1),运用勾股定理求得切线长,讨论t的范围,即可得到最大值,进而得到圆的方程.
【解答】解:(1)∵e==,即a=c,
∴b==c,
∵椭圆C过点M(1,),
∴+=1,
∴a=,b=1,
∴椭圆C的标准方程为+y2=1;
(2)圆T半径r=,圆T方程为x2+(y﹣t)2=1+t2,
∵PQ与圆T相切于点Q,∴QT⊥PQ,
①把Q(﹣,﹣)代入圆T方程,解得t=,
求得kQT=2,
∴直线PQ的方程为y=﹣x﹣;
②设P(x0,y0)(﹣1≤y0≤1),
∵QT⊥PQ,
∴PQ2=PT2﹣QT2=x02+(y0﹣t)2﹣(1+t2),
又+y02=1,∴PQ2=﹣(y0+1)2+(1+t2),
当t≥1时,且当y0=﹣1时,PQ2的最大值为2t,
则2t=()2=,解得t=(舍),
当0<t<1时,且当y0=t时,
PQ2的最大值为1+t2,则t2+1=解得t=(合)
综上t=,圆T方程为x2+(y﹣)2=.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和圆的位置关系,及圆的方程的求法,注意圆的性质和勾股定理,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.
19. 甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为. 记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y.
求X的分布列;
求X和Y的数学期望.
参考答案:
解:(1) X的取值为0、1、2、3. X~B(3,),
X分布列为:
(2)因X~B(3,),Y~B(3,,
故EX=1.5, EY=2.
略
20. 过抛物线y2=4x的焦点作直线AB交抛物线于A、B,求AB中点M的轨迹方程.
参考答案:
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)又F(1,0)
则y12=4x1,y22=4x2
(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
(y1+y2)·k=4
又y1+y2=2y ,k=
∴
即M点轨迹方程为y2=2(x-1)
略
21. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a+b=6,c=2,cosC=.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)求S△ABC.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(I)利用余弦定理可得ab,与a+b=6联立即可得出.
(II)利用三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:(I)由余弦定理,c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣2ab﹣2ab×,∴22=62﹣ab,解得ab=9.
联立,解得a=b=3.
(II)∵cosC=,C∈(0,π).∴sinC==.
∴S△ABC===2.
22. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且m =(a,b),n =(cosA,cosB),p=(2sin,2sinA), 若m∥n, p2=9, 试判断△ABC的形状.
参考答案:
解析:∵m∥n, ∴acosB=bcosA. 由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA, 4分
即sin(A-B)=0.
∵A、B为三角形内角, ∴A=B.
∵p2=9,∴8sin2+4sin2A=9.
∴4[1-cos(B+C)]+4(1-cos2A)=9, 8分
即4cos2A-4cosA+1=0,解得cosA=.
∴A=.∴△ABC为正三角形. 12分