福建省泉州市高级中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
参考答案:
B
【考点】7F:基本不等式;8G:等比数列的性质.
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入中,将其变为2+,利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解:因为3a?3b=3,所以a+b=1,
,
当且仅当即时“=”成立,
故选择B.
【点评】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力.
2. 设全集U=R,集合M={x|y=},N={y|y=3﹣2x},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{x|<x≤3} B.{x|<x<3} C.{x|≤x<2} D.{x|<x<2}
参考答案:
B
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【专题】计算题.
【分析】首先化简集合A和B,然后根据Venn图求出结果.
【解答】解:∵M={x|y=}={x|x≤}
N={y|y=3﹣2x}={y|y<3}
图中的阴影部分表示集合N去掉集合M
∴图中阴影部分表示的集合{x|<x<3}
故选:B.
【点评】本题考查了求Venn图表示得集合,关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征,再通过集合运算求出.
3. (5分)从一批产品中取出三件产品,设A为“三件产品全不是次品”,B为“三件产品全是次品”,C为“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是()
A. B与C互斥 B. A与C互斥
C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥
参考答案:
B
考点: 互斥事件与对立事件.
专题: 规律型;探究型.
分析: 本题中给了三个事件,四个选项都是研究互斥关系的,可先对每个事件进行分析,再考查四个选项得出正确答案
解答: A为“三件产品全不是次品”,指的是三件产品都是正品,B为“三件产品全是次品”,
C为“三件产品至少有一件是次品”,它包括一件次品,两件次品,三件全是次品三个事件
由此知,A与B是互斥事件,A与C是对立事件,也是互斥事件,B与C是包含关系,故选项B正确
故选B
点评: 本题考查互斥事件与对立事件,解题的关系是正确理解互斥事件与对立事件,事件的包含等关系且能对所研究的事件所包含的基本事件理解清楚,明白所研究的事件.本题是概念型题.
4. 在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC等于
参考答案:
B
5. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间(月)
的关系:,有以下叙述:
① 这个指数函数的底数是2;
② 第5个月时,浮萍的面积就会超过;
③ 浮萍从蔓延到需要经过1.5个月;
④ 浮萍每个月增加的面积都相等.
其中正确的是( ).
A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②
参考答案:
D
6. 在平面上,四边形ABCD满足,,则四边形ABCD为( )
A. 梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形
参考答案:
C
,且四边形是平行四边形,,,四边形是菱形,故选C.
7. 设全集为R,集合,,则
(A)(-∞,1) (B)(-∞,1]
(C)(0,1) (D)(0,1]
参考答案:
D
8. 已知函数,则 ( )
A.4 B. C.- 4 D-
参考答案:
略
9. 下列四组函数,表示同一函数的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
相等函数判断要(1)定义域相同,(2)解析式相同。A、B、C都是定义域不同,D是相等函数,故选D。
10. 已知向量、满足||=1,||=4,且?=2,则与夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【分析】本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,用数量积列出等式,变化出夹角的余弦表示式,代入给出的数值,求出余弦值,注意向量夹角的范围,求出适合的角.
【解答】解:∵向量a、b满足,且,
设与的夹角为θ,
则cosθ==,
∵θ∈【0π】,
∴θ=,
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知﹣1<a<b<2,则a﹣b的范围是 .
参考答案:
﹣3<a﹣b<0
【考点】不等式的基本性质.
【分析】根据不等式的基本性质,可得﹣2<b<1,进而﹣3<a﹣b<2,结合a<b,则a﹣b<0,可得答案.
【解答】解:∵﹣1<a<b<2,
∴a﹣b<0,
﹣2<b<1,
∴﹣3<a﹣b<2,
综上可得:﹣3<a﹣b<0;
故答案为:﹣3<a﹣b<0
12. 已知非空集合A={x|﹣1≤x≤a},B={y|y=﹣2x,x∈A},C={y|y=,x∈A},若C?B,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣1+,+∞)
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;集合思想;分析法;集合.
【分析】根据条件先求出集合B,C,利用条件C?B,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:∵非空集合A={x|﹣1≤x≤a},∴a≥﹣1,
∴B={y|y=﹣2x,x∈A}={y|y=﹣2x,﹣1≤x≤a}={y|﹣2a≤y≤2},
C={y|y=,x∈A}={y|≤y≤1},
∵C?B,
∴,
解得a≥﹣1+
故实数a的取值范围是[﹣1+,+∞),
故答案为:[﹣1+,+∞).
【点评】本题主要考查集合关系的应用,利用集合之间的关系求出集合B,C是解决本题的关键,属于基础题.
13. 的展开式中的系数是 (用数字作答)
参考答案:
84
略
14. 已知,则=_____________.
参考答案:
15. 若一元二次不等式的解集为,则一元二次不等式的解为
参考答案:
16. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,则函数的解析式为 .直线y=与函数y=f(x)(x∈R)图象的所有交点的坐标为 ..
参考答案:
f(x)=2sin(x+).(+4kπ,)或(+4kπ,)(k∈Z)
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可知A=2,T=4π,从而可求ω,再由ω×+φ=+2kπ可求得φ,从而可得答案.然后解方程2sin(x+)=,结合正弦函数的图象可得x=x=+4kπ或+4kπ(k∈Z),由此即可得到直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标.
【解答】解:∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R),
∴A=2,周期T==﹣(﹣)=4π,
∴ω=.
∴f(x)=2sin(x+φ),
又f(﹣)=2sin(×(﹣)+φ)=0,
∴φ﹣=kπ,k∈Z,|φ|<π,
∴φ=.
∴f(x)=2sin(x+).
当f(x)=时,即2sin(x+)=,可得sin(x+)=,
∴x+=+2kπ或x+=+2kπ(k∈Z),可得x=+4kπ或+4kπ(k∈Z)
由此可得,直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标为:(+4kπ,)或(+4kπ,)(k∈Z).
故答案为:f(x)=2sin(x+),(+4kπ,)或(+4kπ,)(k∈Z).
17. 定义域为R,且对任意都有,若则=_
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知直线l1:3x+4y﹣2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P.
(1)求过点P且平行于直线l3:x﹣2y﹣1=0的直线方程;
(2)求过点P且垂直于直线l3:x﹣2y﹣1=0的直线方程.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】(1)先求出P点的坐标,设出直线方程代入即可;(2)根据直线的垂直关系求出直线方程即可.
【解答】解:(1)由解得
所以点P的坐标是(﹣2,2). …
因为所求直线与l3平行,所以设所求直线的方程为 x﹣2y+m=0.
把点P的坐标代入得:﹣2﹣2×2+m=0,得m=6.
故所求直线的方程为x﹣2y+6=0…
(2)因为所求直线与l3垂直,所以设所求直线的方程为:2x+y+n=0.
把点P的坐标代入得:2×(﹣2)+2+n=0,得n=2,
故所求直线的方程为:2x+y+2=0. …
【点评】本题考察了求直线的交点坐标,考察直线的位置关系,考察求直线方程问题,是一道基础题.
19. (本小题满分10分)直线l过直线x + y-2 = 0和直线x-y + 4 = 0的交点,且与直线3x-2y + 4 = 0平行,求直线l的方程.
参考答案:
20. 设的内角所对的边分别为且.
(Ⅰ)求角的大小
(Ⅱ)若, 的周长用角B表示并求周长取值范围
参考答案:
(Ⅰ)由得 …………1分
又
…………2分
又 …………4分
(Ⅱ)由正弦定理得:,
…………6分
, …………7分
…………8分
故的周长的取值范围为. …………9分
21. (本小题满分12分)已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式;
(2)若函数在区间(2,3)上为单调函数,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)由为幂函数知,得 或 ……3分
当时,,符合题意;当时,,不合题意,舍去.
∴. ……………………6分
(2)由(1)得,
即函数的对称轴为, …………8分
由题意知在(2,3)上为单调函数,
所以或, ………11分
即或. …………12分
22. 计算:
(Ⅰ)(1.5)﹣2﹣(﹣4.5)0﹣();
(Ⅱ)log535+2﹣log5﹣log514.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)直接利用指数式的运算法则化简求解即可;
(Ⅱ)lo直接利用对数的运算法则化简求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)(1.5)﹣2﹣(﹣4.5)0﹣()==
=﹣1;…
(Ⅱ)log535+2﹣log5﹣log514=log5+2=log553﹣1=2…
【点评】本题考查指数式与对数式的运算法则的应用,考查计算能力.