山西省阳泉市第十七中学2023年高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 化简 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
参考答案:
B
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】从棱柱的定义出发判断A、B、D的正误,找出反例否定C,即可推出结果.
【解答】解:棱柱的侧面都是四边形,A不正确;
正方体和长方体都是特殊的四棱柱,正确;
所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展开为平面图形,C不正确;
棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,所以D不正确;
故选B
3. (5分)关于直线a、b与平面α、β,有下列四个命题:其中真命题的序号是()
①若a∥α,b∥β且α∥β,则a∥b
②若a⊥α,b⊥β且α⊥β,则a⊥b
③若a⊥α,b∥β且α∥β,则a⊥b
④若a∥α,b⊥β且α⊥β,则a∥b.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ④①
参考答案:
B
考点: 空间中直线与平面之间的位置关系.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 利用线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答,判断线线关系.
解答: 对于①,若a∥α,b∥β且α∥β,则a与b平行或者异面;故①错误;
对于②,若a⊥α,b⊥β且α⊥β,根据线面垂直的性质以及面面垂直的性质可以判断a⊥b;故②正确;
对于③,若a⊥α,b∥β且α∥β,根据线面垂直、线面平行的性质以及面面平行的性质可以得到a⊥b;故③正确;
对于④,若a∥α,b⊥β且α⊥β,则a与b可能平行,可能垂直,故④错误;
故选B.
点评: 本题考查了线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理的运用;熟练掌握定理是关键.
4. 若点(a,b)在函数f(x)=lnx的图象上,则下列点中不在函数f(x)图象上的是( )
A.(,﹣b) B.(a+e,1+b) C.(,1﹣b) D.(a2,2b)
参考答案:
B
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】利用点在曲线上,列出方程,利用对数的运算法则化简,判断选项即可.
【解答】解:因为(a,b)在f(x)=lnx图象上,
所以b=lna,所以﹣b=ln,1﹣b=ln,2b=2lna=lna2,
故选:B.
5. 设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则 ②若,,,则
③若,,则 ④若,,则
其中正确命题的序号是 ( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
参考答案:
A
略
6. 函数f(x)=log2x﹣的一个零点落在下列哪个区间( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】计算题.
【分析】根据函数的实根存在定理,要验证函数的零点的位置,只要求出函数在区间的两个端点上的函数值,即可得到结论.
解:∵f(1)=﹣1<0.f(2)=1﹣=
∴f(1)?f(2)<0.
根据函数的实根存在定理得到函数的一个零点落在(1,2)上
故选B.
【点评】本题主要考查函数零点的判定定理,解题的关键是计算区间的两个端点的函数值,属于基础题.
7. 与直线关于x轴对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
设对称直线上的点为,求它关于轴的对称点并代入已知直线的方程,所得方程即为所求的直线方程.
【详解】设对称直线上的点为,
则其关于轴的对称点在直线上,
所以即,选A.
【点睛】若直线,那么关于轴的对称直线的方程为,关于轴的对称直线的方程为,关于直线对称的直线的方程 .
8. 函数f(x)=+lg(1+3x)的定义域是( )
A.(﹣∞,﹣) B.(﹣,)∪(,+∞) C.(,+∞) D.(,)∪(,+∞)
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由1﹣2x≠0.1+3x>0,解不等式即可得到所求定义域.
【解答】解:由1﹣2x≠0.1+3x>0,
可得x>﹣,且x≠,
则定义域为(﹣,)∪(,+∞),
故选:B.
9. 在△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则角A=( ) .
A.30°或150° B.60°或120° C.60° D.30°
参考答案:
D
略
10. 不等式≤x﹣1的解集是( )
A.(﹣∞,﹣1]∪(1,3]B.[﹣1,1)∪[3,+∞)C.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)D.[﹣1,1)∪(1,3]
参考答案:
B
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】根据x﹣1>0和x﹣1<0两种情况分类讨论,能求出不等式≤x﹣1的解集.
【解答】解:∵≤x﹣1,
∴当x﹣1>0时,(x﹣1)2≥4,解得x≥3;
当x﹣1<0时,(x﹣1)2≤4,解得﹣1≤x<1,
∴不等式≤x﹣1的解集是[﹣1,1)∪[3,+∞).
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,则的值为
参考答案:
5
12. 当______时,函数有最_______值,且最值是_________。
参考答案:
解析: ,当时,
13. 在平面直角坐标系中,,,将向量按逆时针旋转后,得向量,则点Q的坐标是 .
参考答案:
将向量按逆时针旋转后得,则
14. 函数的定义域为 .
参考答案:
略
15. 设函数,若用表示不超过实数的最大整数,则函数的值域为___ __________.
参考答案:
16. 已知为常数,,在区间上的最大值是2,则
参考答案:
1
略
17. 下列说法中:
①在中,若,则;
②已知数列为等差数列,若,则有;
③已知数列、为等比数列,则数列、也为等比数列;
④若,则函数的最大值为;
其中正确的是________________(填正确说法的序号)
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)
已知为定义在上的奇函数,当时,;
(1)求在上的解析式;
(2)试判断函数在区间上的单调性,并给出证明.
参考答案:
解:(1)当时,,所以,
又 6分
(2)函数在区间上为单调减函数.
证明:设是区间上的任意两个实数,且,
则,
因为,
所以 即. 所以函数在区间上为单调减函数.
19. 已知函数,其中是常数.
(1)若,解关于的不等式;
(2)若,自变量满足,且的最小值为,求实数a的值;
(3)是否存在实数a,使得函数仅有整数零点?若存在,请求出满足条件的实数a的个数;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)问题等价于当时,求解不等式, 即:,
,不等式的解为.…………………………4分
(2)由及,得,………………………5分
,
若,即时,则在处取最小值
,因此,.…………………………7分
若,即,则在处取最小值,
因此,(舍去). …………………………………9分
综上可知.……………………………………………………………10分
(3)设方程有整数根,,且,
,,……………………………11分
,,……………………………………………………12分
,且为整数,
,………………………………………………………………13分
为36的约数,
可以取,,,,,,………………………14分
实数对可能取值为,,,,
,,,,,,………15分
的对应值为49,32,27,25,24,-25,-8,-3,-1,0.
于是有10个值能使方程根仅有整数根. ……………………………………16分
20. 已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ,求证:
参考答案:
21. (10分)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;若f[f(x)]=x,则称x为f(x)的“周期点”,函数f(x)的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)=x]}.
(1)求证:A?B
(2)若f(x)=ax2﹣1(a∈R,x∈R),且A=B≠?,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点: 集合的包含关系判断及应用.
专题: 新定义.
分析: (I)分A=?和A≠?的情况,然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明.
(II)理解A=B时,它表示方程ax2﹣1=x与方程a(ax2﹣1)2﹣1=x有相同的实根,根据这个分析得出求出a的值.
解答: 证明:(1)?x∈A,即f(x)=x.
则有f[f(x)]=f(x)=x,x∈B
∴A?B
(2)∵f(x)=ax2﹣1
∴f[f(x)]=a(ax2﹣1)2﹣1
若f[f(x)]=x,则a(ax2﹣1)2﹣1﹣x=0a(ax2﹣1)2﹣1﹣x=a(ax2﹣1)2﹣ax2+ax2﹣x﹣1=a[(ax2﹣1)2﹣x2]+ax2﹣x﹣1=a(ax2﹣x﹣1)(ax2+x﹣1)+ax2﹣x﹣1=(ax2﹣x﹣1)(a2x2+ax﹣a+1)
∴B={x|(ax2﹣x﹣1)(a2x2+ax﹣a+1)=0}A={x|ax2﹣x﹣1=0}
当a=0时,A={﹣1},B={﹣1},A=B≠?
∴a=0符合题意
当a≠0时,当A=B≠?时,方程ax2﹣x﹣1=0有实根;对方程a2x2+ax﹣a+1=0根的情况进行分类讨论:
①若方程a2x2+ax﹣a+1=0有两个不相等的实根,则
此时.此时两个方程没有公共解,集合B中有四个元素.不合题意,舍去.
②若方程a2x2+ax﹣a+1=0有两个相等的实根,则
∴
解得.此时方程ax2﹣x﹣1=0的两根分别为;a2x2+ax﹣a+1=0的实根为.验证得:.
③若方程a2x2+ax﹣a+1=0无实根,此时A=B.则
解得:且a≠0.
从而所求a的取值范围为.
点评: 本题考查对新概念的理解和运用的能力,同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识,解题过程中体现了分类讨论的数学思想,属中档题.
22. (本小题满分10分)已知,且0<<<.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求.
参考答案: