广东省汕头市金湖中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f(x)=x3﹣12x在区间(k﹣1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围( )
A.k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B.﹣3<k<﹣1或1<k<3
C.﹣2<k<2 D.不存在这样的实数k
参考答案:
B
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】由题意得,区间(k﹣1,k+1)内必须含有函数的导数的根2或﹣2,即k﹣1<2<k+1或k﹣1<﹣2<k+1,从而求出实数k的取值范围.
【解答】解:由题意得,f′(x)=3x2﹣12 在区间(k﹣1,k+1)上至少有一个实数根,
而f′(x)=3x2﹣12的根为±2,区间(k﹣1,k+1)的长度为2,
故区间(k﹣1,k+1)内必须含有2或﹣2.
∴k﹣1<2<k+1或k﹣1<﹣2<k+1,
∴1<k<3 或﹣3<k<﹣1,
故选 B.
【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系,函数在区间上不是单调函数,则函数的导数在区间上有实数根.
2. 若a>1,则在同一坐标系中,函数f(x)=a﹣x与函数g(x)=logax的图象可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:函数的图象.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据a>1,把函数等价变形:y=a﹣x=为指数函数且为减函数,再利用y=logax为对数函数,即可得到答案.
解答: 解:当a>1时,y=a﹣x=为指数函数且为减函数,y=logax为对数函数且为增函数,只有C符合,其它均不符合,
故选:C.
点评:本题考查的知识是对数函数的图象与性质,指数函数的图象与性质,熟练掌握底数与指数(对数)函数单调性的关系是解答本题的关键.
3. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y﹣4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 抛物线的应用.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径.
解答: 解:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y﹣4)2=1的圆心为C(0,4),
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,
进而推断出当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为:,
故选C.
点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.
4. 设四边形的两条对角线为、,则“四边形为菱形”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不成分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
5. 已知函数,若,则实数的取值范围是
A. 或 B.
C. 或 D.
参考答案:
D
略
6. 如果( ).
A. B.6 C. D.8
参考答案:
B
7. 如图是某校高三(1)班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图,由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为( )
A.105,103 B.115,125
C. 125,113.3 D.115,113.3
参考答案:
D
8. 已知△ABC的面积为,AC=2,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨,硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元,生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元,那么可产生的最大利润是( )
A.29 000元 B.31 000元 C.38 000元 D.45 000元
参考答案:
C
【考点】简单线性规划的应用;简单线性规划.
【分析】分别设出甲乙两种肥料的车皮数,根据两种原料必须同时够用列出不等式组,得到线性约束条件,列出利润与甲乙两种肥料车皮数的函数,利用线性规划知识求得利润的最大值.
【解答】解:设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
由题意,得.
工厂的总利润z=12000x+7000y
由约束条件得可行域如图,
由,解得:,
所以最优解为A(2,2),
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A(2,2)时,
z取得最大值为:38000元,即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润.
故选:C.
【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型,考查了线性规划知识,解答的关键是确定最优解,是中档题.
10. 已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
参考答案:
C
【考点】基本不等式.
【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵lg2x+lg8y=lg2,∴lg(2x?8y)=lg2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.
∵x>0,y>0,∴==2+=4,当且仅当x=3y=时取等号.
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,正六边形的边长为,则 ▲ .
参考答案:
略
12. 已知数列{an}中,设a1=1,an+1=3an+1(n∈N*),若bn= ?an,Tn是{bn}的前n项和,若不等式2nλ<2n﹣1Tn+n对一切的n∈N+恒成立,则实数λ的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,1)
【考点】数列的求和.
【分析】可设an+1+t=3(an+t),化简由条件可得t,运用等比数列的通项公式可得an,bn,再由数列的求和方法:错位相减法,可得Tn,由题意可得不等式2nλ<2n+1﹣2对一切的n∈N+恒成立.即为λ<2﹣()n﹣1对一切的n∈N+恒成立.判断不等式右边数列的单调性,求得最小值,即可得到所求范围.
【解答】解:数列{an}中,设a1=1,an+1=3an+1(n∈N*),
可设an+1+t=3(an+t),即为an+1=3an+2t,
即有2t=1,即t=.
则an+1+=3(an+),
则an+=(a1+)?3n﹣1,
可得an=(3n﹣1),
则bn=?an=?(3n﹣1)=n?()n﹣1,
Tn=1?()0+2?()+3?()2+…+n?()n﹣1,
Tn=1?()1+2?()2+3?()3+…+n?()n,
两式相减可得Tn=1+()1+()2+()3+…+()n﹣1﹣n?()n
=﹣n?()n,
化简可得Tn=4﹣(2n+4)?()n,
不等式2nλ<2n﹣1Tn+n对一切的n∈N+恒成立,
即有不等式2nλ<2n+1﹣2对一切的n∈N+恒成立.
即为λ<2﹣()n﹣1对一切的n∈N+恒成立.
由2﹣()n﹣1在n∈N+递增,可得n=1时,取得最小值1,
则λ<1.
故答案为:(﹣∞,1).
13. 如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O
于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP=_______.
参考答案:
略
14. 已知,则 。
参考答案:
24
15. 已知a=(x,1),=(1,2),=(-1,5) ,若(a+2),则 .
参考答案:
本题考查平面向量的线性运算.由题意得a+2,而(a+2),所以,解得,即a=(-3,1),所以.
【备注】,等价于.
16. 已知若f(x)=2,则x=________.
参考答案:
-1或
17.
数列中,,则 .
参考答案:
答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为菱形,,为的中点。
(1)点在线段上,,试确定的值,使平面;
(2)在(1)的条件下,若平面平面ABCD,求二面角的大小。
参考答案:
解: (1)当时,平面
下面证明:若平面,连交于
由可得,,
.........2分
平面,平面,
平面平面,
........................4分
即: ...6分
(2)由PA=PD=AD=2, Q为AD的中点,则PQ⊥AD。.7分
又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,连BD,
四边形ABCD为菱形,
∵AD=AB, ∠BAD=60°△ABD为正三角形,
Q为AD中点, ∴AD⊥BQ............8分
以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为
轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
A(1,0,0),B(),Q(0,0,0),P(0,0,)
设平面MQB的法向量为,可得
,
取z=1,解得...........10分
取平面ABCD的法向量设所求二面角为,
则 故二面角的大小为60°..............12分
略
19. 已知数列{an}的前n项和为,且,.
(1)若数列{an}是等差数列,且,求实数a的值;
(2)若数列{an}满足,且,求证:数列{an}是等差数列;
(3)设数列{an}是等比数列,试探究当正实数a满足什么条件时,数列{an}具有如下性质M:对于任意的,都存在使得,写出你的探求过程,并求出满足条件的正实数a的集合.
参考答案:
(1)3;(2)证明见解析;(3)
【分析】
(1)首先根据,,求出,再计算即可.
(2)首先由得到,由且,得到数列{an}的通项公式,即可证明数列{an}是等差数列.
(3)有题意得:,然后对分类讨论,可知当,,时,数列{an}不具有性质.当时,对任意,,都有,即当时,数列{an}具有性质.
【详解】(1)设等差数列{an}的公差为,由,,得,
解得,则,
所以.
(2)因为,
所以,
解得,
因为,,,
当为奇数时,.
当为偶数时,.
所以对任意,都有.
当时,,即数列{an}是等差数列.
(3)解:由题意,{an}是等比数列,.
①当时,,
所以对任意,都有,
因此数列{an}不具有性质.
②当时,,.
所以对任意,都有,
因此数列{an}不具有性质.
③当时,.
,
.
取(表示不小于的最小整数),
则,.
所以对于任意,.
即对于任意,都不在区间内,
所以数列{an}不具有性质.
④当时,,且,
即对任意,,都有,
所以当时,数列{an}具有性质M.
综上,使得数列{an}具有性质M的正实数的集合为.
【点睛】本题第一问考查等差数列的性质,第二问考查等差数列的证明,第三问考查等差和等比数列的综合应用,属于难题.
20. (本