广东省肇庆市莲都中学2023年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线被圆截得的弦长为4,则的最小值是( )
A. 3 B. C. 2 D.
参考答案:
C
圆心为,半径为,由于所截弦长为,故直线过圆心,将圆心坐标代入直线方程得,即,的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方,故最小值为.所以选.
2. 已知点P的极坐标为(2,),那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρsinθ= B. ρsinθ=2 C. ρcosθ= D. ρcosθ=2
参考答案:
A
略
3. 已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 如果的三个内角的余弦值分别等于三个内角的正弦值,则
A.和都是锐角三角形
B.和都是钝角三角形
C. 是锐角三角形,是钝角三角形
D.是钝角三角形,是锐角三角形
参考答案:
C
略
5. 已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
参考答案:
B
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可.
【解答】解:圆的标准方程为M:x2+(y﹣a)2=a2 (a>0),
则圆心为(0,a),半径R=a,
圆心到直线x+y=0的距离d=,
∵圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,
∴2=2=2=2,
即=,即a2=4,a=2,
则圆心为M(0,2),半径R=2,
圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的圆心为N(1,1),半径r=1,
则MN==,
∵R+r=3,R﹣r=1,
∴R﹣r<MN<R+r,
即两个圆相交.
故选:B
6. 数列……的前n项的和为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
参考答案:
D
【考点】圆的标准方程.
【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.
【解答】解:由题意知圆半径r=,
∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
故选:D.
8. 给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M( )
A.在直线y=﹣3x上 B.在直线y=3x上
C.在直线y=﹣4x上 D.在直线y=4x上
参考答案:
B
【考点】63:导数的运算.
【分析】求出原函数的导函数,再求出导函数的导函数,由导函数的导函数等于0,即可得到拐点,问题得以解决.
【解答】解:f'(x)=3+4cosx+sinx,f''(x)=﹣4sinx+cosx=0,4sinx0﹣cosx0=0,
所以f(x0)=3x0,
故M(x0,f(x0))在直线y=3x上.
故选:B.
【点评】本题是新定义题,考查了函数导函数零点的求法;解答的关键是函数值满足的规律,是中档题.
9. 定义在R上的函数f(x),已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=﹣1对称,对任意的x1,x2∈(﹣∞,0)(x1≠x2),都有,则下列结论正确的是( )
A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25) B.
C. D.
参考答案:
A
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】根据图象平移以及对称轴可以得出函数y=f(x)是偶函数,再根据单调性的定义得出f(x)在(﹣∞,0)上是单调减函数,由偶函数的性质得出f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,利用指数对数函数的单调性即可得出f(0.32)<f(20.3)<f(log25).
【解答】解:∵y=f(x+1)向右平移1个单位可得y=f(x)的图象,
∴y=f(x+1)的对称轴x=﹣1向右平移1个单位可得y=f(x)的对称轴x=0,
∴函数y=f(x)的图象关于x=0对称,即函数y=f(x)为偶函数;
又对任意的x1,x2∈(﹣∞,0)(x1≠x2),都有,
则f(x)在(﹣∞,0)上是单调减函数,
所以f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;
∵0<0.32<1<20.3<2<log25<3
∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).
故选:A.
【点评】本题考查了图象平移以及偶函数的定义与性质的应用问题,也考查了指数、对数函数的单调性问题,是综合性题目.
10. 已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(1<X<5)=3P(X≥5),则P(X≤1)等于( )
A. 0.2 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.4
参考答案:
A
考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 随机变量X服从正态分布N(3,σ2),可得图象关于x=3对称,利用P(1<X<5)=3P(X≥5),P(1<X<5)+2P(X≥5)=1,即可得出结论.
解答: 解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),
∴图象关于x=3对称,
∵P(1<X<5)=3P(X≥5),P(1<X<5)+2P(X≥5)=1,
∴P(X≤1)=P(X≥5)=0.2,
故选:A.
点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,注意根据正态曲线的对称性解决问题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设全集,集合,则=__________.
参考答案:
由题意得
12. 在复平面内,记复数对应的向量为,若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为___________________.
参考答案:
2i
13. 抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若为的中点,则抛物线C的方程为
参考答案:
略
14. 设函数f(x)=x3+(1+a)x2+ax有两个不同的极值点x1,x2,且对不等式f(x1)+f(x2)≤0恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
≤a≤2或a≤﹣1
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】把x1,x2代入到f(x)中求出函数值代入不等式f(x1)+f(x2)≤0中,在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式,求出解集即可.
【解答】解:因f(x1)+f(x2)≤0,故得不等式x13+x23+(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2)≤0.
即(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+(1+a)[(x1+x2)2﹣2x1x2]+a(x1+x2)≤0.
由于f′(x)=3x2+2(1+a)x+a.
令f′(x)=0得方程3x2+2(1+a)x+a=0.
△=4(a2﹣a+1)≥4a>0,x1+x2=﹣(1+a),x1x2=,
代入前面不等式,并化简得(1+a)(2a2﹣5a+2)≥0.
解不等式得≤a≤2或a≤﹣1,
因此,实数a的取值范围是≤a≤2或a≤﹣1.
故答案为:≤a≤2或a≤﹣1.
【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力,灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力.
15. . 以,所连线段为直径的圆的方程是 ▲
参考答案:
16. 设复数z满足,则 .
参考答案:
17. 若椭圆上一点P到右准线的距离为10,则P到左焦点的距离为 ;
参考答案:
12 w
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点.
(1)证明:直线;
(2)求点B到平面OCD的距离.
参考答案:
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即 取,解得
(2)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
19. 在△ABC中,角A,B,C所对的边是a,b,c,且满足a2+c2﹣b2=ac.
(1)求角B的大小;
(2)设=(﹣3,﹣1),=(sinA,cos2A),求?的最小值.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)直接利用余弦定理,求出B的余弦函数值,即可求解B的大小;
(2)?=﹣3sinA﹣cos2A,化简,利用配方法,即可求?的最小值.
【解答】解:(1)由余弦定理:b2=a2+c2﹣2accosB,以及a2+c2=b2+ac,
可得cosB=.
B是三角形内角,所以B=.
(2)?=﹣3sinA﹣cos2A=2sin2A﹣3sinA﹣1=2(sinA﹣)2﹣,
∵0<A<,∴0<sinA≤1.
∴当sinA=时,取得最小值为﹣.
20. (本小题满分12分)已知定点F(2,0)和定直线,动圆P过定点F与定直线相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程.
(2)若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点,且线段AB是此圆的直径时,求直线AB的方程
参考答案:
(1)由题意知,P到F的距离等于P到的距离,所以P的轨迹C是以F为焦点,为准线的抛物线,它的方程为
(2)设
则
由AB为圆M的直径知,
故直线的斜率为
直线AB的方程为
即
22. (本小题满分12分)
数列是首项为,公比为的等比数列,数列满足
,
(1) 求数列的前项和的最大值;
(2) 求数列的前项和.
参考答案:
(1)由题意:,∴,
∴数列是首项为3,公差为的等差数列,
∴,∴
由,得,∴数列的前项和的最大值为……4分
(2)由(1)当时,,当时,,
∴当时,
当时,
∴………8分
22. 三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC⊥侧面ABB1A1,底面△ABC是边长为2的等边三角形,侧面ABB1A1为菱形且ABAA1=60°,D为A1B1的中点.
(Ⅰ)记平面BCD∩平面A1C1CA=l,在图中作出l,并说明画法(不用说明理由);
(Ⅱ)求直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)法一:延长BD与A1A交于F,连接CF交A1C1于点E,则直线CE(或CF)即为l.
法二:取A1C1中点E,连接ED,CE,则直线CE即为l.
(Ⅱ)取AB的中点O,以O为原点,分别以OA,OA1,OC所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值.
【解答】解:(Ⅰ)方法一:延长BD与A1A交于F,连接CF交A1C1于点E,
则直线CE(或CF)即为l.…
方法二:取A1C1中点E,连接ED,CE,
则直线CE即为l.…
(Ⅱ)取AB的中点O,因为△ABC为等边三角形,
则CO⊥AB,CO?平面ABC,底面ABC⊥侧面ABB1A1且交线为AB,
所以CO⊥侧面ABB1