福建省泉州市英都中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数若则等于 ( )
A.2 B. -2 C. 3 D. -3
参考答案:
C.
试题分析:由题意得,,将代入到即可求得,故选C.
考点:导函数的求值.
2. 已知点M(0,﹣1),点N在直线x﹣y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0,则点N的坐标是( )
A.(﹣2,﹣1) B.(2,3) C.(2,1) D.(﹣2,1)
参考答案:
B
考点:两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.
专题:计算题.
分析:根据点N在直线x﹣y+1=0上,设点N坐标为(x0,x0+1),利用经过两点的斜率公式,得到直线MN的斜率关于x0的表达式,最后根据直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0,得到两直线斜率乘积等于﹣1,建立等式并解之可得点N的坐标.
解答:解:∵点N在直线x﹣y+1=0上
∴可设点N坐标为(x0,x0+1)
根据经过两点的直线的斜率公式,可得
=
∵直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0,而直线x+2y﹣3=0的斜率为
∴?=2?x0=2
因此,点N的坐标是(2,3)
故选B
点评:本题借助于直线与垂直,求点的坐标为例,着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点,属于基础题.
3. .函数,那么任意使的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过60km/h的汽车数量为 ( )
A.65辆 B.76辆 C.88辆 D.95辆
参考答案:
B
5. 某事件发生的概率为,则事件在一次试验中发生的次数的方差的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
根据题意,由于事件发生的概率为,事件在一次试验中发生的次数的期望值为p,方差为p(1-p)=p-p ,结合二次函数的性质可知函数的最大值为,故可知答案为C.
6. 当a>0时,函数的图象大致是( )
参考答案:
A
7. 两个变量与的回归模型中,分别选择了4个不同模型,对于样本点,,…,,可以用来刻画回归的效果,已知模型1中,模型2中,模型3中,模型4中,其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4
参考答案:
A
8. 已知xy>0,若x2+4y2>(m2+3m)xy恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥﹣1或m≤﹣4 B.m≥4或m≤﹣1 C.﹣4<m<1 D.﹣1<m<4
参考答案:
C
【考点】基本不等式.
【分析】xy>0,x2+4y2>(m2+3m)xy,可得m2+3m<,利用基本不等式的性质求出的最小值,即可得出.
【解答】解:∵xy>0,x2+4y2>(m2+3m)xy,∴m2+3m<,
∵≥=4,当且仅当x=2y>0时取等号.
∴m2+3m<4,解得﹣4<m<1.
∴实数m的取值范围是﹣4<m<1.
故选:C.
9. 已知数列{an}是等差数列a2+a8=16,a4=6,则a6=?
A.7 B.8 C.10 D.12
参考答案:
C
略
10. 若函数在上既是奇函数,又是减函数,则函数的图象是
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数(为虚数单位),则复数的模= ▲ .
参考答案:
略
12. 已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x﹣4y+20=0相切,则r= .
参考答案:
4
【考点】圆的切线方程.
【分析】由圆的方程求出圆心坐标,直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案.
【解答】解:由x2+y2=r2,可知圆心坐标为(0,0),半径为r,
∵圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x﹣4y+20=0相切,
由圆心到直线的距离d==4,
可得圆的半径为4.
故答案为:4.
13. 已知实数满足约束条件,则的最小值为 .
参考答案:
3
14. 如图,给出一个算法的伪代码,已知输出值为3,则输入值x= .
参考答案:
4
【考点】伪代码.
【分析】根据伪代码可知该题考查一个分段函数f(x)=,再利用输出值为3,即可求得输入值.
【解答】解:本题的伪代码表示一个分段函数f(x)=
∵输出值为3
∴或
∴x=4
∴输入值x=4
故答案为:4
15. 数列的通项公式为,则等于_______.
参考答案:
-200
16. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为____.
参考答案:
17. 等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则
a12+a22+a32+…+an2等于
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的离心率.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABC的面积的最大值.
参考答案:
考点:圆与圆锥曲线的综合.
专题:综合题.
分析:(1)由椭圆的离心率,知.由此能求出椭圆E的方程.
(2)依题意,圆心为C(t,0),(0<t<2).由得.所以圆C的半径为.由圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且圆心C到y轴的距离d=t,知,所以弦长,由此能求出ABC的面积的最大值.
解答: (1)解:∵椭圆的离心率,
∴.
解得a=2.
∴椭圆E的方程为.
(2)解:依题意,圆心为C(t,0),(0<t<2).
由得.
∴圆C的半径为.
∵圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且圆心C到y轴的距离d=t,
∴,即.
∴弦长.
∴△ABC的面积==.
当且仅当,即时,等号成立.
∴△ABC的面积的最大值为.
点评:本题考查椭圆的方程和三解开有的面积的最大值,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
19. 已知圆C的方程为:x2+y2﹣2mx﹣2y+4m﹣4=0,(m∈R).
(1)试求m的值,使圆C的面积最小;
(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(1,﹣2)的直线方程.
参考答案:
【考点】圆方程的综合应用;直线与圆的位置关系.
【分析】(1)通过配方先将圆的一般方程化成标准方程,利用二次函数的最值,可得m的值.
(2)根据(1)的结论确定圆的方程,然后设出直线方程,利用直线与圆相切的条件,建立关系,求得直线方程.
【解答】解:配方得圆的方程:(x﹣m)2+(y﹣1)2=(m﹣2)2+1
(1)当m=2时,圆的半径有最小值1,此时圆的面积最小.
(2)当m=2时,圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=1
设所求的直线方程为y+2=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k﹣2=0
由直线与圆相切,得,
所以切线方程为,即4x﹣3y﹣10=0
又过点(1,﹣2)且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切
所发所求的切线方程为x=1与4x﹣3y﹣10=0.
20. 成都外国语学校开设了甲,乙,丙三门选修课,学生对每门均可选或不选,且选哪门课程互不影响。已知某学生只选修甲的概率为0.08,只选修甲和乙的概率为0.12,至少选修一门的概率为0.88,用表示该学生选修课程的门数,用表示该学生选修课程门数和没有选修课程门数的乘积。
(1)记“函数为偶函数”为事件A,求事件A的概率;
(2)求的分布列与数学期望.
参考答案:
略
21. (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列的前4项和为10,且成等比数列.
(Ⅰ)求通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
参考答案:
22. 已知椭圆:的离心率为,且过点.直线交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ), ,,, …………………4分
(Ⅱ)设 , ,由 …6分
, ………7分
① ② …………8分
, ………9分
设为点到直线BD:的距离, …………10分
当且仅当时等号成立 ……………11分
∴当时,的面积最大,最大值为 ……………12分
略