广东省湛江市第十五中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
B
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.
解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=2x+y,得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A,
直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,
由,解得,
即A(﹣1,﹣1),此时z=﹣2﹣1=﹣3,此时n=﹣3,
平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B,
直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,
由,解得,
即B(2,﹣1),此时z=2×2﹣1=3,即m=3,
则m﹣n=3﹣(﹣3)=6,
故选:B.
点评:本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
2. 把函数f(x)=sin(2x+?)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于对称,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由条件根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得g(x)=sin(2x++?),再利用正弦函数的图象的对称性,求得?的值,可得的值.
【解答】解:把函数f(x)=sin(2x+?)的图象向左平移个单位,
得到函数g(x)=sin[2(x+)+?]=sin(2x++?)的图象.
由g(x)的图象关于对称,可得sin(?﹣)=0,?﹣=kπ,k∈z.
结合?∈(﹣,)可得?=,f(x)=sin(2x+)
则=sin(π+)=﹣sin=﹣,
故选:C.
【点评】本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性,属于基础题.
3. 已知i是虚数单位,复数(其中)是纯虚数,则m=
(A)-2 (B)2 (C) (D)
参考答案:
B
4. 若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. 1 B. C. D.
参考答案:
D
在直角坐标系中作出区域A,当从连续变化到时,动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形,所以其面积为,故选D.
5. 已知双曲线C1:﹣y2=1,双曲线C2:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2一条渐近线上的某一点,且OM⊥MF2,若C1,C2的离心率相同,且S=16,则双曲线C2的实轴长为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得双曲线C1的离心率,求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x,运用点到直线的距离公式,结合勾股定理和三角形的面积公式,化简整理解方程可得a=8,进而得到双曲线的实轴长.
【解答】解:双曲线C1:﹣y2=1的离心率为,
设F2(c,0),双曲线C2一条渐近线方程为y=x,
可得|F2M|===b,
即有|OM|==a,
由S=16,可得ab=16,
即ab=32,又a2+b2=c2,且=,
解得a=8,b=4,c=4,
即有双曲线的实轴长为16.
故选:C.
6. (sinx+x2)dx=( )
A.0 B. C. D.1
参考答案:
C
【考点】定积分.
【专题】导数的综合应用.
【分析】根据积分公式进行求解即可.
【解答】解:(sinx+x2)dx=(﹣cosx+x3)|=﹣cos1+﹣[﹣cos(﹣1)﹣]=,
故选:C.
【点评】本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握掌握常见函数的积分,比较基础.
7. 甲、乙两名选手参加歌手大赛时,5名评委打的分数,用茎叶图表示(如图),分别表示甲、乙选手分数的标准差,则与的关系是(填“”、“”或“=”)
A. B. C. D.不确定
参考答案:
C
略
8. 已知集合,,则是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】D 由题意得A={x },B={x}则,
故选D.
【思路点拨】先分别求出A,B再求。
9. 已知曲线的极坐标方程为,则其直角坐标下的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
10. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为8cm,底面边长为12cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的表面积为( )
A.36πcm2 B.64πcm2 C.80πcm2 D.100πcm2
参考答案:
B
【考点】球的体积和表面积.
【分析】据图形的性质,求出截面圆的半径,即而求出求出球的半径,得出球的表面积.
【解答】解:根据几何意义得出:边长为12的正三角形,球的截面圆为正三角形的内切圆(如图1),
∴内切圆的半径为O1D=2,
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm,
∴d=8﹣6﹣8=2,
∴球的半径为:R
R2=(R﹣2)2+(2)2,解得R=4
则球的表面积为4πR2=64π
故选:B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{an}的通项公式是an =,若前n项和为10,则项数n=_________.
参考答案:
120
12.
等于 .
参考答案:
答案:
13. 设a、b为空间的两条直线,α、β为空间的两个平面,给出下列命题:
①若a∥α,a∥β,则α∥β;②若a⊥α,a⊥β,则α⊥β;
③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
上述命题中,所有真命题的序号是 .
参考答案:
④
14. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,,则此球的表面积等于________.
参考答案:
15.
已知,若的夹角为钝角, 则实数的取值范围为 .
参考答案:
答案:
16. 向量,在正方形网格中的位置如图所示,设向量=﹣λ,若⊥,则实数λ= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;平面向量及应用.
【分析】由向量垂直的条件得到(﹣λ)?=0,求出向量AB,AC的坐标和模,再由数量积的坐标公式,即可求出实数λ的值.
【解答】解:∵向量=﹣λ,⊥,
∴=0,即(﹣λ)?=0,
∴=λ
∵,,
∴=6,||=2,
∴λ=.
故答案为:.
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示、向量垂直的条件、向量的模,考查基本的运算能力,是一道基础题.
17. 函数则函数的零点是 .
参考答案:
0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱中,,,,.
(1)试在线段上找一个异于,的点,使得,并证明你的结论;
(2)在(1)的条件下,求多面体的体积.
参考答案:
(1)【考查意图】本小题以直三棱柱为载体,考查直线与平面垂直的性质及判定等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力,考查化归与转化思想.
【解法综述】只要根据直三棱柱的性质,结合已知条件确定点的位置,再利用直线与平面垂直的性质及判定定理进行证明,便可解决问题.
思路一:先由直三棱柱的性质及得到平面,从而有,所以要使,只需即可,然后以此为条件进行证明即可.
思路二:同思路一得到,要使,只需即可.然后以为条件求得,再证明当时即可.
【错因分析】考生可能存在的错误有:不能根据已知条件正确找到点;证明过程逻辑混乱.
【难度属性】中.
(2)【考查意图】本小题以多面体为载体,考查多面体的体积、直线与平面垂直的性质等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.
【解法综述】将所求多面体分割成两个三棱锥进行求解.
思路:把多面体分割为三棱锥和三棱锥,分别计算体积并求和.
【错因分析】考生可能存在的错误有:不能将所求多面体正确割补成易于计算体积的几何体;体积公式记忆错误或计算错误.
【难度属性】中.
19. [选修4-5:不等式选讲]
已知a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2)
参考答案:
【考点】不等式的证明.
【分析】利用作差,再因式分解,即可得到结论.
【解答】证明:∵a≠b,
∴a4+6a2b2+b4﹣4ab(a2+b2)=(a﹣b)4>0,
∴原不等式成立.
20. (14分)已知函数f(x)=ax++(1﹣2a)(a>0)
(1)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(2)证明:1+++…+≥ln(n+1)+(n≥1);
(3)已知S=1+++…+,求S的整数部分.(ln2014≈7.6079,ln2015≈7.6084)
参考答案:
考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.
分析:(1)利用f(x)≥lnx,构造g(x)=f(x)﹣lnx,问题转化为g(x)=f(x)﹣lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,利用导数求出函数在[1,+∞)上的最小值大于0,求a的取值范围;
(2)由(1)可知a≥时,f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,则当a=时,(x﹣)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,对不等式的左侧每一项裂项,然后求和,即可推出要证结论;
(3)运用(2)的结论和S=1+++…+<1×2++…+×28=9,即可得到整数部分.
解答: 解:(1)∵函数f(x)=ax++(1﹣2a),
f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
设g(x)=f(x)﹣lnx,则g(x)=f(x)﹣lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,
∴g(x)min≥0,
又∵g′(x)=a﹣﹣=,
而当=1,即a=时,
①当≤1即a时,
g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
∴g(x)min=g(1)=0≥0;
②当>1即0<a<时,
g′(x)=0时x=;
且1≤x<时,g′(x)<0,
当x>时,g′(x)>0;
则g(x)min=g()≥0①,
又∵g()≤g(1)=2a﹣1<0与①矛盾,不符题意,故舍.
∴综上所述,a的取值范围为:[,+∞).
(2)证明:由(1)可知a时,f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
则当a=时,(x﹣)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
令x依次取,,,…,时,
则有 ×( ﹣)≥ln ,×( ﹣)≥ln ,
…×( ﹣)≥ln ,
由同向不等式可加性可得
[(+++…+)﹣( +++…+)]≥ln(n+1),
即 [(1+++…++n)﹣(n﹣﹣﹣﹣…﹣)]≥ln(n+1),
也即 [2(1+++…+)+﹣1]≥ln(n+1),
也即1+++…+>ln(n+1)+(n≥1).
(3)由(2)的结论,可得,S=1+++…+≥ln2015+∈(8,9),
又S=1+++