辽宁省大连市第一百零七中学2023年高二数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调递增区间是
A. B.(0,2) C.(1,3) D.
参考答案:
D
略
2. 设点P对应的复数为﹣3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为( )
A.(,) B.(,) C.(3,) D.(﹣3,)
参考答案:
A
【考点】Q6:极坐标刻画点的位置.
【分析】先求出点P的直角坐标,P到原点的距离r,根据点P的位置和极角的定义求出极角,从而得到点P的极坐标.
【解答】解:∵点P对应的复数为﹣3+3i,则点P的直角坐标为(﹣3,3),点P到原点的距离r=3,
且点P第二象限的平分线上,故极角等于,故点P的极坐标为(,),
故选 A.
【点评】本题考查把直角坐标化为极坐标的方法,复数与复平面内对应点间的关系,求点P的极角是解题的难点.
3. 若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是
A B C D
参考答案:
A
4. 若上是减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 在中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且=( )
A. B. C. D.2
参考答案:
C
6. 已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
A
略
7. 已知集合,下列结论成立的是( )
A.NM B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2}
参考答案:
D
8. 已知双曲线()的右焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 函数f(x)=+x2﹣3x﹣4在[0,2]上的最小值是( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣4 D.﹣
参考答案:
A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】对f(x)进行求导,利用导数研究函数的最值问题,注意要验证端点值与极值点进行比较;
【解答】解:∵f(x)=+x2﹣3x﹣4在定义域[0,2]上,
∴f′(x)=x2+2x﹣3=(x﹣1)(x+3),
令f′(x)=0,解得x=1或﹣3;
当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当1<x<2时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
∴f(x)在x=1上取极小值,也是最小值,
∴f(x)min=f(1)=+1﹣3﹣4=﹣;
故选A;
10. 已知f(x)=,在区间[0,2]上任取三个数,均存在以 为边长的三角形,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下面的程序框图,那么其循环体执行的次数是
参考答案:
从运行到步长为,运行次数为499
12. 已知点A(3,﹣1),F是抛物线y2=4x的焦点,M是抛物线上任意一点,则|MF|+|MA|的最小值为 .
参考答案:
4
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线的定义可知:|MF|=|MN丨,则当A,M,N共线时,|MF|+|MA|的最小值,则|MF|+|MA|的最小值为4.
【解答】解:由题意可知:抛物线y2=4x的焦点(1,0),准线方程x=﹣1,
点A(3,﹣1)在抛物线内,
由抛物线的定义可知:|MF|=|MN丨,
则当A,M,N共线时,|MF|+|MA|的最小值,
则|MF|+|MA|的最小值为4,
故答案为:4.
【点评】本题考查抛物线的性质,考查抛物线的定义,属于基础题.
13. 比较大小:log25 log23;(填“>”或“<”)
参考答案:
>
【考点】对数函数的图象与性质;对数值大小的比较.
【分析】利用对数函数的单调性,判断即可.
【解答】解:因为y=log2x,是单调增函数,所以log25>log23.
故答案为:>.
14. 某校高二(13)班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表:
组别
平均值
标准差
第一组
90
第二组
80
4
则全班学生的平均成绩是 ,标准差是 。
参考答案:
85、6
15.
参考答案:
略
16. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________,表面积为_________.
参考答案:
8 32
【分析】
由三视图还原原几何体,该几何体为三棱锥,底面为直角三角形,,,,,侧棱底面,且.然后由三棱锥体积公式与表面积公式求解.
【详解】由三视图还原原几何体如图,
该几何体为三棱锥,底面为直角三角形,,
,,,侧棱底面,且.
则;
表面积为.
故答案为:8;32.
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.
17. 若双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为2,则双曲线C的离心率为_______.
参考答案:
【分析】
求解出双曲线渐近线和抛物线准线的交点,利用三角形面积构造方程可求得,利用双曲线的关系和即可求得离心率.
【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为:
由抛物线方程可得准线方程为:
可解得渐近线和准线的交点坐标为:
,解得:
本题正确结果:
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,关键是能够利用三角形面积构造方程,得到之间关系,进而得到之间的关系.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=(x﹣1)2﹣.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x1,x2,证明x1+x2>2.
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求出导函数,求出极值点,判断导函数的符号,推出函数的单调性即可.
(Ⅱ)不妨设x1<x2,推出0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,利用函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,得到x1>2﹣x2,转化为:0=f(x1)<f(2﹣x2).求出,构造函数设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,再利用形式的导数,求出函数的最值,转化求解即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ),…
f'(x)=0?x=1,当x∈(﹣∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递增.…
(Ⅱ)证明:,f(0)=1,不妨设x1<x2,
又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,
又函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,
所以x1+x2>2?x1>2﹣x2等价于f(x1)<f(2﹣x2),
即0=f(x1)<f(2﹣x2).…
又,而,
所以,…
设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,则g'(x)=(1﹣x)(e2﹣x﹣ex).…
当x∈(1,+∞)时g'(x)>0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)>0.
而恒成立,
所以当x>1时,,
故x1+x2>2.…
19. 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)根据椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为,可建立方程组,从而可求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0,从而可求|MN|,A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离,利用△AMN的面积为,可求k的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为,
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
∴|MN|==
∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为,
∴
∴k=±1.
20. 已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求面积的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,
所以, ……………1分
又椭圆的离心率为,即,所以, ………………2分
所以,. ………………4分
所以,椭圆的方程为. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨设的方程,则的方程为.
由得, ………………6分
设,,因为,所以, …………7分
同理可得, ………………8分
所以,, ………………10分
, ………………12分
设,则, ………………13分
当且仅当时取等号,所以面积的最大值为. ………………14分
方法二:不妨设直线的方程.
由消去得, ………………6分
设,,
则有,. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点,所以.
由,
得. ………………8分
将代入上式,
得.
将 ① 代入上式,解得或(舍). ………………10分
所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),
所以
. ……………12分
设,
则.
所以当时,取得最大值. ……………14分
(1)由题意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.
(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,∴, 又椭圆的离心率为,即,所以,
∴,. ………… 3分∴,椭圆的方程为.……4分
(Ⅱ)由直线的方程.联立消去得,………… 5分
设,,则有,. ① ……… 6分
因为以为直径的圆过点,所以.由,得.…………… 7分
将代入上式,得.
将 ① 代入上式,解得或(舍). ……… 8分
所以,记直线与轴交点为,则点坐标为,
所以
设,则.
所以当时,取得最大值为
21. 已知命题p:4﹣x≤6,q:x>a﹣1,若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】先由一元一次不等式4﹣x≤6解得x>﹣2;再由p是q的充分不必要条件,知x>﹣2?x>a﹣1,而反之不可,则可求出a的取值范围.
【解答】解:由题意得:p:x≥﹣2,
又q:x>a﹣1,
因为p是q的充分不必要条件,
所以a﹣1<﹣2,即a<﹣1.
故a的取值范围a<﹣1.
【点评】本题考查一元一次不等式的解法,充分条件、必要条件的定义等,属于基础题.
22. 已知椭圆C的对