广东省河源市黄沙中学高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设是两个单位向量,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】95:单位向量.
【分析】由是两个单位向量,可得,即可得出.
【解答】解:∵是两个单位向量,∴,
故选:D.
2. 函数的图象大致是( )
A B C D
参考答案:
A
3. 集合,,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是( )
A.[,3) B.(0,3) C.(1,3) D.(1,+∞)
参考答案:
A
【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质.
【分析】由x<1时,f(x)=(3﹣a)x﹣a是增函数解得a<3;由x≥1时,f(x)=logax是增函数,解得a>1.再由f(1)=loga1=0,(3﹣a)x﹣a=3﹣2a,知a.由此能求出a的取值范围.
【解答】解:∵f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,∴x<1时,f(x)=(3﹣a)x﹣a是增函数
∴3﹣a>0,解得a<3;
x≥1时,f(x)=logax是增函数,解得a>1.
∵f(1)=loga1=0
∴x<1时,f(x)<0
∵x=1,(3﹣a)x﹣a=3﹣2a
∵x<1时,f(x)=(3﹣a)x﹣a递增
∴3﹣2a≤f(1)=0,解得a.
所以≤a<3.
故选A.
5. 已知,,直线,若直线l过线段AB的中点,则a=( )
A. -5 B. 5 C. -4 D. 4
参考答案:
B
【分析】
根据题意先求出线段的中点,然后代入直线方程求出的值.
【详解】因为,,所以线段的中点为,因为直线过线段的中点,所以,解得.故选
【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题,较为简单.
6. 函数是定义在上的偶函数,且,则下列各式一定成立的是( )
A、 B、 C、 D
参考答案:
B
7. 幂函数在(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
参考答案:
C
8. 在中,如果,那么等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】连接C1B,D1A,AC,D1C,将MN平移到D1A,根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角,而三角形D1AC为等边三角形,即可求出此角.
【解答】解:连接C1B,D1A,AC,D1C,MN∥C1B∥D1A
∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角
而三角形D1AC为等边三角形
∴∠D1AC=60°
故选C.
10. 已知圆与圆相离,则m的取值范围().
A.(9,+∞) B.(-∞,25) C.[9,25) D.(9,25)
参考答案:
D
∵圆的圆心为(0,0),半径为1,
圆的标准方程为,
则.
又∵两圆相离,
∴,
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线l:与圆交于A、B两点,过点A、B分别做l 的垂线与x轴交于C、D两点,若,则__________.
参考答案:
4
【分析】
因为直线与圆相交,且已知,由勾股定理可以构建方程求得弦心距;再由点到直线的距离公式表示弦心距,求得参数m,得倾斜角为30°,做出图像,由余弦定义得答案.
【详解】由题可知直线:与圆交于,两点,
所以设弦心距为d,有
又因为,所以,即,
所以,故直线l的斜率,则倾斜角为30°
做出图像,所以
故答案为:4
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,注意构建图像帮助分析,属于较难题.
12. 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间____________.
参考答案:
(1.25,1.5)
略
13. 两人射击命中目标的概率分别为,,现两人同时射击目标,则目标能被命中的概率为 .(用数字作答)
参考答案:
略
14. 在△ABC中,C=,则的最大值是_______________。
参考答案:
略
15. 设集合,则= .
参考答案:
略
16. 设平面向量,,则 .若与的夹角为钝角,则的取值范围是 .
参考答案:
,
(1)由题意得.
(2)∵与的夹角为钝角,
∴,解得.
又当时,向量,共线反向,满足,但此时向量的夹角不是钝角,故不合题意.
综上的取值范围是.
17. 已知,sin()=- sin则cos= _.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量,.
(1)若与平行,求k的值;
(2)若与垂直,求k的值.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
通过坐标表示出和,根据向量平行和垂直的性质可构造关于的方程,求解得到结果.
【详解】由题意得:,
(1)
(2)
【点睛】本题考查利用向量平行和垂直的性质求解参数的问题,主要利用向量的坐标运算来求解,属于基础题.
19. 已知等比数列的公比,,且,,成等差数列,数列满足:
,.
(Ⅰ)求数列和的通项公式.
(Ⅱ)若恒成立,求实数的最小值.
参考答案:
见解析
解:()设,
,
.
且,
∴,
∴,
又∵
.
而,,
∴有,
∴,,
当时,,,
故.
()若恒成立,
即:最大值,
有,时,,
,
当,,,时,,
即:或时,最大为.
即:,可得最小为.
20. 已知在锐角△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,且(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2.
(1)求角A的值;
(2)若a=,则求b+c的取值范围.
参考答案:
【考点】HP:正弦定理;GL:三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)在锐角△ABC中,根据条件利用正弦定理可得 (sinB﹣2sinC)cosA=sinA(﹣cosB),化简可得cosA
=,由此可得A的值.
(2)由正弦定理可得==2,可得 b+c=2(sinB+sinC)=2sin(B+).
再由,求得B的范围,再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围.
【解答】解:(1)在锐角△ABC中,根据(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2=a﹣2a?,
利用正弦定理可得 (sinB﹣2sinC)cosA=sinA(﹣cosB),
即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA,即sin(B+A)=2sinCcosA,
即sinC=2sinCcosA,∴cosA=,∴A=.
(2)若a=,则由正弦定理可得==2,
∴b+c=2(sinB+sinC)=2=3sinB+cosB=2sin(B+).
由于,求得<B<,∴<B+<.
∴sin(B+)∈(,1],∴b+c∈(3,2].
【点评】本题主要考查正弦定理的应用,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
21. 已知平行四边形ABCD(如图1),AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置,使得A1C=4,F是线段A1C的中点(如图2).
(1)求证:BF∥面A1DE;
(2)求证:面A1DE⊥面DEBC;
(3)求二面角A1﹣DC﹣E的正切值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)取A1D中点G,并连接FG,EG,能够说明四边形BFGE为平行四边形,从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE;
(2)先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形,然后取DE中点H,连接CH,从而得到A1H⊥DE,根据已知的边角值求出A1H,CH,得出,从而得到A1H⊥CH,从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC;
(3)过H作HO⊥DC,垂足为O,并连接A1O,容易说明DC⊥面A1HO,从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角,能够求出HO,从而求出tan∠A1OH,即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值.
【解答】解:(1)证明:如图,取DA1的中点G,连FG,GE;
F为A1C中点;
∴GF∥DC,且;
∴四边形BFGE是平行四边形;
∴BF∥EG,EG?平面A1DE,BF?平面A1DE;
∴BF∥平面A1DE;
(2)证明:如图,取DE的中点H,连接A1H,CH;
AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点;
∴△DAE为等边三角形,即折叠后△DA1E也为等边三角形;
∴A1H⊥DE,且;
在△DHC中,DH=1,DC=4,∠HDC=60°;
根据余弦定理,可得:
HC2=1+16﹣4=13,在△A1HC中,,,A1C=4;
∴,即A1H⊥HC,DE∩HC=H;
∴A1H⊥面DEBC;
又A1H?面A1DE;
∴面A1DE⊥面DEBC;
(3)如上图,过H作HO⊥DC于O,连接A1O;
A1H⊥面DEBC;
∴A1H⊥DC,A1H∩HO=H;
∴DC⊥面A1HO;
∴DC⊥A1O,DC⊥HO;
∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角;
在Rt△A1HO中,,;
故tan;
所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2.
22. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,点M,N分别为A1B 和B1C1的中点.
(1)证明:A1M⊥平面MAC;
(2)证明:MN∥平面A1ACC1.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)证明A1M⊥MA,AM⊥AC,故可得A1M⊥平面MAC;
(2)连结AB1,AC1,由中位线定理得出MN∥AC1,故而MN∥平面A1ACC1.
【解答】证明:(1)由题设知,∵A1A⊥面ABC,AC?面ABC,∴AC⊥A1A,
又∵∠BAC=90°,∴AC⊥AB,
∵AA1?平面AA1BB1,AB?平面AA1BB1,AA1∩AB=A,
∴AC⊥平面AA1BB1,A1M?平面AA1BB1
∴A1M⊥AC.
又∵四边形AA1BB1为正方形,M为A1B的中点,∴A1M⊥MA,
∵AC∩MA=A,AC?平面MAC,MA?平面MAC,∴A1M⊥平面MAC…
(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,∴MN∥AC1.
又MN?平面A1ACC1,AC1?平面A1ACC1,∴MN∥平面A1ACC1.…