广东省茂名市职业高级中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,若平面上点P满足对任意的,恒有,则一定正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
以A为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系
A,B,设P,C
,
,,
∴
,
∵距离大于等于4,
∴P
对于A来说,,错误;
对于B来说,,错误;
对于C来说,,正确;
对于D来说,当P时,,即,∴
即,错误.
故选:C
2. 复数在复平面内对应的点位于( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
参考答案:
C
3. 直角坐标系xOy中,已知点P(2﹣t,2t﹣2),点Q(﹣2,1),直线l:.若对任意的tR,点P到直线l的距离为定值,则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为
A. (0,2) B. (2,3) C. (,) D. (,3)
参考答案:
C
【分析】
先求出点P的轨迹和直线l的方程,再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标.
【详解】设点P(x,y),所以
所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0.
对任意的tR,点P到直线l的距离为定值,
所以直线l的方程为2x+y=0.
设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为,
所以.
故选:C
【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法,考查点线点对称问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有f(x)?f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是( )
A.[,2) B.[,2] C.[,1) D.[,1]
参考答案:
C
【考点】3P:抽象函数及其应用.
【分析】根据f(x)?f(y)=f(x+y),令x=n,y=1,可得数列{an}是以为首项,以为等比的等比数列,进而可以求得Sn,进而Sn的取值范围.
【解答】解:∵对任意x,y∈R,都有f(x)?f(y)=f(x+y),
∴令x=n,y=1,得f(n)?f(1)=f(n+1),
即==f(1)=,
∴数列{an}是以为首项,以为等比的等比数列,
∴an=f(n)=()n,
∴Sn==1﹣()n∈[,1).
故选C.
5. 已知,若,则的值为( )
A.1 B.1或
C.1,或 D.
参考答案:
D
考点:分段函数,抽象函数与复合函数
试题解析:当时,不符合题意;
当时,
当时,不符合题意,
综上可得:
故答案为:D
6. 某学生离家去学校,因为怕迟到,所以一开始就跑步,后来累了,就走回学校。若横轴表示时间,纵轴表示离学校距离的话,下面四幅图符合该学生走法的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. . 与的等比中项是( )
A. B.1 C.-1 D.
参考答案:
D
8. 如果奇函数在上是增函数且最小值是5,那么在上是( )
A.减函数且最小值是 B.减函数且最大值是
C.增函数且最小值是 D.增函数且最大值是
参考答案:
略
9. 不等式(x+3)2<1的解集是( )
A.{x|x<-2} B.{x|x<-4} C.{x|-4<x<-2} D.{x|-4≤x≤-2}
参考答案:
C
10. 已知直线l过点P(2,﹣1),且与直线2x+y﹣l=0互相垂直,则直线l的方程为( )
A.x﹣2y=0 B.x﹣2y﹣4=0 C.2x+y﹣3=0 D.2x﹣y﹣5=0
参考答案:
B
【考点】IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】根据题意设出直线l的方程,把点P(2,﹣1)代入方程求出直线l的方程.
【解答】解:根据直线l与直线2x+y﹣l=0互相垂直,设直线l为x﹣2y+m=0,
又l过点P(2,﹣1),
∴2﹣2×(﹣1)+m=0,
解得m=﹣4,
∴直线l的方程为x﹣2y﹣4=0.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,,,则的大小关系是 (从小到大排列)。
参考答案:
12. 计算: ▲ .
参考答案:
13. 能说明“若对任意的都成立,则f(x)在[0,2]上的最小值大于g(x)在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是f(x)=____,g(x)=_______.
参考答案:
【分析】
由不等式恒成立可设,,结合单调性求出其在上的最大值,即可得到符合题意.
【详解】“若对任意的都成立,
则在上的最小值大于在上的最大值”,
可设,,
显然恒成立,且在的最小值为0,在的最大值为1,
显然不成立,故答案为,.
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法,注意运用函数的单调性,考查运算能力,熟练掌握初等函数的性质是解题的关键,属于基础题.
14. 如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个命题:
①+=2;② =2+2;
③?=;④( ?)=(?).
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).
参考答案:
①②④
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量的运算法则及正六边形的边、对角线的关系判断出各个命题的正误.
【解答】解:① +==2,故①正确;
②取AD 的中点O,有=2=2(+)=2+2,故②正确;
③∵?﹣?=(+)?﹣?=?≠0,故③错误;
④∵=2,∴( ?)?=2(?)?=2?(?),故④正确;
故答案为:①②④.
15. 当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为
参考答案:
略
16. 在直线上任取一点P,过点P向圆作两条切线,其切点分别为A,B,则直线AB经过一个定点,该定点的坐标为 .
参考答案:
17. 已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∩B= .
参考答案:
{0,1}
【考点】交集及其运算.
【分析】利用交集的性质求解.
【解答】解:∵集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},
∴A∩B={0,1}.
故答案为:{0,1}.
【点评】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的性质的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数).
(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知,圆C上任意一点M,求面积的最大值.
参考答案:
(1);(2).
分析】
(1)圆C的参数方程为,通过三角函数的平方关系式消去参数θ,得到普通方程.通过x=ρcosθ,y=ρsinθ,得到圆C的极坐标方程;
(2)求出点M(x,y)到直线AB:x﹣y+2=0的距离,表示出△ABM的面积,通过两角和的正弦函数,结合绝对值的几何意义,求解△ABM面积的最大值.
【详解】(1)圆的参数方程为(为参数).
所以普通方程为,
∴圆的极坐标方程:.
(2)设点,
则点M到直线的距离为,
的面积,
所以面积的最大值为.
【点睛】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.
19. 解关于的不等式 (且)
.
参考答案:
略
20. 已知数列{an}中,任意相邻两项为坐标的点均在直线上.数列{bn}为等差数列,且满足,,.
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式;
(Ⅱ)若,,求Sn的值.
参考答案:
(Ⅰ)设数列的公差为,首项为
∴
∴ ∴
∴
又∵ ∴
∴是以2为首项,公比为2的等比数列
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
∴ (1)
(2)
∴得:
即:()
21. (本小题满分12分)探究函数的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
x
…
0.5
1
1.5
1.7
1.9
2
2.1
2.2
2.3
3
4
5
7
…
y
…
8.5
5
4.17
4.05
4.005
4
4.005
4.002
4.04
4.3
5
4.8
7.57
…
(1)根据上表判断函数在区间(0,2)上的单调性并给出证明;
(2)函数在区间上(2,+ )单调性如何?(不需证明)
求出函数的最小值及相应x的值
参考答案:
22. 已知函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).
(Ⅰ)求φ的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】HL:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;HW:三角函数的最值.
【分析】(I)由已知中函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).我们将(,)代入函数的解析式,结合φ的取值范围,我们易示出φ的值.
(II)由(1)的结论,我们可以求出y=f(x),结合函数图象的伸缩变换,我们可以得到函数y=g(x)的解析式,进而根据正弦型函数最值的求法,不难求出函数的最大值与最小值.
【解答】解:(I)∵函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)(0<φ<π),
又因为其图象过点(,).
∴φ﹣
解得:φ=
(II)由(1)得φ=,
∴f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)
=
∴
∵x∈[0,]
∴4x+∈
∴当4x+=时,g(x)取最大值;
当4x+=时,g(x)取最小值﹣.