广东省肇庆市开平金山中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知{an}为等差数列,,若{bn}为等比数列,,则{bn}的类似结论是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
3. 设函数f(x)在处存在导数,则= ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 下列说法错误的是: ( )
A.命题“”的逆否命题是:“”.
B.“x>1”是“”的充分不必要条件.
C.若且为假命题,则均为假命题.
D.命题 ,则.
参考答案:
C 解析: 若且为假命题,则与的真假包括两种情况:其中可以有一个是真命题,或者与都是假命题.
5. 随机变量X~B,那么D(4X+3)的值为( )
A.64 B.256 C.259 D.320
参考答案:
B
【考点】CN:二项分布与n次独立重复试验的模型.
【分析】利用二项分布的方差的性质求解.
【解答】解:∵随机变量X~B,
∴Dξ=100×0.2×0.8=16,
∴D(4X+3)=16Dξ=16×16=256.
故选:B.
6. 以下命题:
是纯虚数
其中正确命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
A
7. 执行如图所示的程序框图,则输出s的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】循环结构.
【专题】图表型;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,s的值,当k=8时不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
s=0,k=0
满足条件k<8,k=2,s=
满足条件k<8,k=4,s=+
满足条件k<8,k=6,s=++
满足条件k<8,k=8,s=+++=
不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.
故选:D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.
8. 椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 有三个球,一个球内切于正方体的各个面,另一个球切正方体的各条棱,第三个球过正方体的各个顶点(都是同一正方体),则这三个球的体积之比为( )
参考答案:
C
略
10. 已知抛物线的焦点是F(0,-2),则它的标准方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .
参考答案:
12. 抛物线C:x2=4y上的点Q到点B(4,1)与到x轴的距离之和的最小值为 .
参考答案:
3
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】过Q点作QA⊥l于点A,交x轴于点C,利用抛物线的定义可得QB+QC=QB+QA﹣1=QB+QF﹣1,可知当B、Q、F三点共线时,QB+QF的值最小,因此QB+QF取得最小值FB,求出即可.
【解答】解:将x=4代入x2=4y,得y=4>1,
所以点B在抛物线外部.抛物线焦点为F(0,1),
准线l:y=﹣1.
过Q点作QA⊥l于点A,交x轴于点C,
则QB+QC=QB+QA﹣1=QB+QF﹣1.
由图可知,当B、Q、F三点共线时,QB+QF的值最小,
所以QB+QF的最小值为FB=4,
故QB+QC的最小值为3.
故答案为3.
13. 已知某个几何体的三视图如右侧,根据图中标出的尺寸
(单位:cm),可得这个几何体的体积是 __________;
参考答案:
14. 用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年抽取20人,高三年抽取10人,又已知高二年学生有300人,则该校高中生共有 人.
参考答案:
高二抽取45-20-10=15人,由得 x=900
15. 若函数,则=
参考答案:
16. 阅读如图所示的程序框图,若输出的范围是,则输入实数x的范围应是
参考答案:
略
17. 已知,命题“ ”是 命题(填“真”或“假”).
参考答案:
真
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,。
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若对任意恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)解:因为,………………………………2分
令,得;令,得;
所以的递增区间为,的递减区间为.…………6分
(2)解:由(1)知,,所以对任意恒成立,
即对任意恒成立.…………7分
令,则,……………………9分
令,()则在恒成立,
所以函数在上单调递增.………………………10分
因为,所以在恒成立
…………………………12分
略
19. 如图,在圆上任取一点P,过点P作轴的垂线段PD,D为垂足.点M在线段DP上,且.
(Ⅰ)当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记(Ⅰ)所得的曲线为C,已知过点的直线与曲线C相交于两点A、B两点,设Q为曲线C上一点,且满足(其中O为坐标原点),求整数的最大值.
参考答案:
22.(Ⅰ)解:设点M的坐标为,点P的坐标为,则由,即,得:,
因为点P在圆上运动,所以.①
把代入方程①,得,即这就是点M的轨迹方程. ……5分
(Ⅱ)曲线的方程为.
由题意知直线的斜率存在.
设直线的方程:,………………………………………6分
,,,
由得. ………………………8分
,.
……………………9分
∵,∴,
, . ………… 10分
∵点在椭圆上,∴,
∴ …………11分
, …………… 13分
∴的最大整数值为1. ……………………14分
略
20. (本小题满分12分)
某厂有一面旧墙长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件是①建1米新墙费用为a元;②修1米旧墙的费用为元;③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元,经过讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长;(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?
参考答案:
解析:设利用旧墙的一面矩形边长为x米,则矩形的另一面边长为米.
(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长,
则修旧墙费用为元.……………………………2分
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元,其余建新墙的费用为元,故总费用为:
……………………………4分
=
=……………………………5分
所以…………………………6分
当且仅当,即x=12米时,元.
(2)若利用旧墙的一面为矩形边长x≥14,
则修旧墙的费用为元.
建新墙的费用为元,
故总费用为
=( x≥14) ……………………8分
令,
则),
因为14≤<,所以-<0, ·>196,
从而>0,所以.……………………10分
所以函数在[14,+∞)上为增函数,故当x=14时,
………………………12分
综合上述讨论知,采用方案(1),利用旧墙其中的12米为矩形的一面边长时,建墙总费用最省,为35a元. ………………………13分
21. (本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只,从中每次任取一只,有放回地抽取两次.求:
(1)两次全是红球的概率;
(2)两次颜色相同的概率;
(3)两次颜色不同的概率.
参考答案:
解:因为是有放回地抽取两次,所以每次取到的球都可以是红球,也可以是黄球。把第一次取到红球,第二次取到红球简记为(红,红),其他情况用类似记法,则有放回地抽取两次,所有的基本事件有4个,分别是:
(红,红)(红,黄)(黄,红)(黄,黄)
(1)两次全是红球的概率是。 ·····4分
(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两互斥事件,因此两次颜色相同的概率是。 ·····8分
(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件,所以两次颜色不同的概率是。 ·····12分
略
22. 生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的,在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖,我国分布很广,北起鸭绿江,南至海南岛,沿海皆可产生蚝,生蚝乃软体有壳,衣服寄生的动物,咸淡水交界所产尤为肥美,因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食,某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝,并随机抽取了40只统计质量,得到结果如下表所示:
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量
6
10
12
8
4
(Ⅰ)若购进这批生蚝500kg,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数);
(Ⅱ)以频率估计概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选4个,记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X,求X的分布列及数学期望.
参考答案:
(1)由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为
,
所以购进,生蚝的数列均为(只);
(2)由表中数据知,任意挑选一只,质量在间的概率为,
的可能取值为,则,
,
所以的分布列为
所以