广西壮族自治区柳州市永乐中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列中,“”是“”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
2. 若cosθ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
考点:象限角、轴线角;三角函数值的符号.
分析:sin2θ=2sinθcosθ,因为cosθ>0,所以sinθ<0,可以判定角θ的终边所在象限.
解答: 解:由sin2θ=2sinθcosθ,因为cosθ>0,所以sinθ<0,可以判定角θ的终边所在象限第四象限.
故选D.
点评:本题考查象限角,三角函数值的符号,二倍角的正弦,是基础题.
3. 已知则等于
A B C D
参考答案:
D
4. 对于R上可导的任意函数,若满足,则必有
A. B.
C. D.
参考答案:
C
即,∴分或讨论得,当时单调递增,当时单调递减,画数轴,观察得.
5. 设,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 已知等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
C
7. 在R上是奇函数,.( )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
参考答案:
A
略
8. 已知向量,若与平行,则实数x的值是( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
参考答案:
D
【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示;9J:平面向量的坐标运算.
【分析】由题意分别可得向量与的坐标,由向量平行的充要条件可建立关于x的方程,解之即可.
【解答】解:由题意可得=(3,x+1),=(﹣1,1﹣x),
因为与平行,所以3×(1﹣x)﹣(x+1)×(﹣1)=0,
解得x=2
故选D
9. 已知函数f(x)满足,则f(x)的最小值是
A. B.2 C. D.
参考答案:
C
10. 已知点是的重心,若,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的一个零点为,另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率,则 ;的取值范围是 .
参考答案:
;
12. 等边△ABC的边长为2,取各边的三等分点并连线,可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形,记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3,…,G9,则|()+()+…+()|= 。
参考答案:
【知识点】向量的加法及其几何意义 A1
因为△ABC为等边三角形,边长为2
∴,且,=
故答案为.
【思路点拨】将所有的向量用,表示出来,再利用等边三角形的三线合一性质即可求解
13. 设G是三角形的重心,且=0,若存在实数λ,使得,,依次成等差数列,则实数λ为 .
参考答案:
【考点】8L:数列与向量的综合;9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用G点为△ABC的重心,且=0,进一步得到用、表示,得到三边关系,将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可.
【解答】解:G为三角形ABC的重心,且=0,
∴?=0,
即?=0,∴b2﹣2c2﹣2bc?cosA=0.
又+=,
即+=,
∴2λ=(+)?
=?
=?
=
==,
故λ=,
故答案为:.
14. 关于的不等式至少有一个正数解,则实数的取值范围是
参考答案:
15. 若定义域为R的奇函数满足,则下列结论:
①的图像过点(1,0);
②的图像关于直线x=1对称;
③是周期函数,且2是它的一个周期; ④在区间(-1,1)上是单调函数;
其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确结论的序号)
参考答案:
①③
16. 已知510°角的始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(m,2),则m= .
参考答案:
﹣2
略
17. 已知锐角三角形的边长分别为2、4、x,试求x的取值范围 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 设动点M(x, y)到直线y=3的距离与它到点F(0, 1)的距离之比为,点M的轨迹为曲线E.
(I)求曲线E的方程:
(II)过点F作直线l与曲线E交于A, B两点,且.当3时,求
直线l斜率k的取值范围·
参考答案:
(Ⅰ)根据题意,|y-3|=·.
化简,得曲线E的方程为3x2+2y2=6. …4分
(Ⅱ)直线l方程为y=kx+1,代入曲线E方程,得
(2k2+3)x2+4kx-4=0. …6分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=-, ①
x1x2=-. ②
=λ即(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),
由此得x1=-λx2. ③
由①②③,得+==. …9分
因为2≤λ≤3,所以≤-≤,从而≤≤2,
解不等式≤+≤2,得≤k2≤3.
故k的取值范围是[-,-]∪[,]. …12分
19.
1,3,5
(本小题满分12分)
已知各项均为正数的数列中,是数列的前项和,对任意,有
.函数,数列的首项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令求证:是等比数列并求通项公式;
(Ⅲ)令,,求数列的前n项和.
参考答案:
解: (Ⅰ)由 ①
得 ② ---------1分
由②—①,得
即: ---------2分
由于数列各项均为正数,
------------3分
即 数列是首项为,公差为的等差数列,
数列的通项公式是 ----------4分
(Ⅱ)由知,
所以, ------------5分
有,即,---------6分
而,
故是以为首项,公比为2的等比数列。 ---------7分
所以 ---------8分
(Ⅲ), -------9分
所以数列的前n项和
错位相减可得 ----------12分
略
20. 已知函数f(x)=xlnx+x2﹣ax+2(a∈R)有两个不同的零点x1,x2.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:x1?x2>1.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)考虑f(x)与x轴有切点,设为(m,0),求出导数,可得f′(m)=0,f(m)=0,解得a,m,考虑由于f(x)的图象开口向上,由f′(1)=3﹣a<0,解得a的范围即可;
(2)由零点的定义,得到两个方程,同除以x,两式相减,整理化简,结合分析法,构造法,不妨设0<x1<1,x2>1,即可得证.
【解答】(1)解:函数f(x)=xlnx+x2﹣ax+2(a∈R)有两个不同的零点x1,x2.
考虑f(x)与x轴有切点,设为(m,0),
f′(x)=lnx+1+2x﹣a,则lnm+1+2m﹣a=0,
又mlnm+m2﹣am+2=0,
消去a,可得m2+m﹣2=0,解得m=1(﹣2舍去),
则a=3,
由于f(x)的图象开口向上,
由f′(1)=3﹣a<0,解得a>3,
可得f(x)在(0,+∞)不单调,有两个不同的零点x1,x2.
故a的范围是(3,+∞);
(2)证明:由题意可得x1lnx1+x12﹣ax1+2=0,x2lnx2+x22﹣ax2+2=0,
即为lnx1+x1﹣a+=0,lnx2+x2﹣a+=0,
两式相减可得,lnx1﹣lnx2+x1﹣x2+=0,
即有1+=,
要证x1?x2>1,即证<2,
即有1+<2,
即<1,
即有<0,(*)
令g(x)=lnx﹣x,g′(x)=﹣1,
当x>1时,g′(x)<0,g(x)递减;当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)递增.
则g(x)在x=1处取得极大值,且为最大值﹣1,
即有lnx﹣x<0,
不妨设0<x1<1,x2>1,
则x1﹣x2<0,lnx1﹣x1﹣(lnx2﹣x2)>0,
故(*)成立,
即有x1?x2>1.
21. (本小题满分10分)设函数.
(I)解不等式;
(Ⅱ)设函数,且在上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
22. (12分)已知函数,且函数在和处都取得极值。
(1)求实数的值;
(2)求函数的极值;
(3)若对任意,恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(1)
由题意可知,解得
(2)由(1)知,
1
+
极大值
-
极小值
+
时,的最大值为
对于任意的,恒成立,
只需,或。
略