陕西省榆林市玉林新桥中学2023年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数m的取值范围是( )
A.m>0 B.0<m<1 C.﹣2<m<1 D.m>1且m≠
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.
【专题】计算题.
【分析】先根据椭圆的标准方程,进而根据焦点在y轴推断出2﹣m2>m>0,从而求得m的范围.
【解答】解:由题意,
∴2﹣m2>m>0,
解得:0<m<1,
∴实数m的取值范围是0<m<1.
故选B.
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.解题时注意看焦点在x轴还是在y轴.
2. 棱长为2的正方体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(1,+∞) C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)
参考答案:
B
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】利用导数判断单调区间,导数大于0的区间为增区间,导数小于0的区间为减区间,所以只需求导数,再解导数大于0即可.
【解答】解:函数y=x2﹣2lnx的定义域为(0,+∞),
求函数y=x2﹣2lnx的导数,得,y′=2x﹣,令y'>0,解得x<﹣1(舍)或x>1,
∴函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为(1,+∞)
故选:B.
4. 已知函数在(2,+∞)上不单调,则m的取值范围是( )
A. (4,+∞) B. (-∞,4] C. (-∞,0) D. (0,+∞)
参考答案:
A
【分析】
求出导函数,由在上有解且不是等根可得.
【详解】由题意,
有两个不等实根,且在上有解.
,,,
∴,即.
故选:A.
【点睛】本题考查导数与单调性.对于可导函数,一般由确定增区间,由确定减区间.因此函数在某一区间不单调,则在此区间内方程有解,且在解的两侧的符号相反.
5. 在中,若 ,,三角形的面积,则三角形外接圆的直径为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为1-50,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是( )
(A) 抽签法 (B)系统抽样法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法
参考答案:
B
略
7. 定义在R上的偶函数满足,且在上单调递增,设, ,,则大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 在如图所示的程序框图中,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 若关于x的不等式ex﹣(a+1)x﹣b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,则(a+1)b的最大值为( )
A.e+1 B.e+ C. D.
参考答案:
C
【考点】函数恒成立问题.
【分析】利用不等式ex﹣(a+1)x﹣b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,利用导函数研究单调性求出a,b的关系,再次利用导函数研究单调性(a+1)b的最大值.
【解答】解:不等式ex﹣(a+1)x﹣b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,令f(x)=ex﹣(a+1)x﹣b,则f(x)≥0在R上恒成立.
只需要f(x)min≥0即可.
f′(x)=ex﹣(a+1)
令f′(x)=0,
解得x=ln(a+1),(a>﹣1)
当x∈(﹣∞,ln(a+1))时,f′(x)<0,则f(x)时单调递减.
当x∈(ln(a+1),+∞)时,f′(x)>0,则f(x)时单调递增.
故x=ln(a+1)时,f(x)取得最小值
即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b
那么:(a+1)2[1﹣ln(a+1)]≥b(a+1)
令(a+1)=t,(t>0)
则现求g(t)=t2﹣t2lnt的最大值.
g′(t)=
令g′(t)=0,解得:t=
得极大值为g()=
∴(a+1)b的最大值为.
故选C.
10. 执行如下图所示的程序框图,则输出的
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴,若,则焦点到AB的距离为 .
参考答案:
2
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】不妨设A点在x轴上方,依题意可知A点纵坐标,代入抛物线方程求得A点纵坐标,进而求得抛物线的焦点坐标,则焦点到AB的距离可得.
【解答】解:不妨设A点在x轴上方,依题意可知yA=2,
则xA==3
而抛物线焦点坐标为(1,0)
∴AB到焦点的距离是3﹣1=2,
故答案为2
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质等基础知识,考查数形结合思想,属于基础题.
12. 若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的焦点坐标是_________.
参考答案:
略
13. 在平面直角坐标系xOy中,若圆C的圆心在第一象限,圆C与x轴相交于、两点,且与直线相切,则圆C的标准方程为_________.
参考答案:
.
【分析】
设圆心与半径,根据条件列方程组,解得结果.
【详解】设圆:,
则,解得
14. 若直线y=x+a与曲线f(x)=x?lnx+b相切,其中a、b∈R,则b﹣a= .
参考答案:
1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,把切点横坐标分别代入曲线和直线方程,由纵坐标相等得一关系式,再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式,联立后求得b﹣a的值.
【解答】解:设直线y=x+a与曲线f(x)=x?lnx+b的切点为(x0,y0),
则有,即x0=1,b﹣a=1.
故答案为:1
15. 若椭圆+=1的焦点在x轴上,离心率e=.则m= .
参考答案:
81
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据题意,由椭圆的标准方程以及焦点的位置,可得a=,b==6,进而可得c的值,由椭圆离心率的计算公式可得e===,解可得m的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,椭圆的标准方程为+=1且其焦点在x轴上,
那么有a=,b==6,
则c==,
其离心率e===,
解可得m=81;
故答案为:81.
【点评】本题考查椭圆的性质,掌握椭圆的离心率的计算公式是解题的关键.
16. 命题“若x2<2,则”的逆否命题是 .
参考答案:
“若|x|≥,则x2≥2”
【考点】四种命题.
【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题是“若¬q则¬p”,写出即可.
【解答】解:命题“若x2<2,则”的逆否命题是
“若|x|≥,则x2≥2”.
故答案为:“若|x|≥,则x2≥2”.
17. 已知椭圆()上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若,设,且,则该椭圆离心率e的取值范围为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图所示,圆的两弦和交于点, ∥,交的延长线于点,切圆于点.
(1)求证:△∽△;(2)如果=1,求的长.
参考答案:
(1)证明
.
,
.
又
∽ ………………… 4分
(2)解 ∽,∴=.
.
又切圆于,.
已知.
………………… 8分
19. 设点P在曲线上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、。
(Ⅰ)当时,求点P的坐标;
(Ⅱ)当有最小值时,求点P的坐标和最小值。
参考答案:
解:(Ⅰ)设点P的横坐标为t(00 …………9分
所以,当时, ,P点的坐标为 …………10分
略
20. (1)的三边倒数成等差数列,求证:
(2)证明:
参考答案:
(1)证明略 (2)证明略
略
21. (本小题满分12分)已知动圆过定点,且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心的轨迹方程;
(2) 是否存在直线,使过点(0,1),并与轨迹交于不同的两点,且满足以PQ为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
参考答案:
解:(1)如图,设为动圆圆心, ,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:, ……………………2分
即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,
∴ 动点的轨迹方程为 ………………………………4分
(2)由题可设直线的方程为
由得 ………………………………6分
由,得,
设,,则,…………8分
由,即 ,,于是,
解得∴ 直线存在,其方程为 . …………………12分
略
22. 已知函数
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)因为当函数的导数为0时,函数有极值,所以当a=0时,必须先在定义域中求函数f(x)的导数,让导数等于0,求x的值,得到极值点,在列表判断极值点两侧导数的正负,根据所列表,判断何时有极值.
(2)因为当函数为增函数时,导数大于0,若f(x)在区间上是增函数,则f(x)在区间上恒大于0,所以只需用(1)中所求导数,令导数大于0,再判断所得不等式当a为何值时,在区间上恒大于0即可.
【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞)
∵当a=0时,f(x)=2x﹣lnx,则
∴x,f'(x),f(x)的变化情况如下表
x
(0,)
(,+∞)
f'(x)
﹣
0
+
f(x)
极小值
∴当时,f(x)的极小值为1+ln2,函数无极大值.
(2)由已知,得
若a=0,由f'(x)>0得,显然不合题意
若a≠0∵函数f(x)区间是增函数
∴f'(x)≥0对恒成立,即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立.
即恒成立 故
而当,函数,∴实数a的取值范围为a≥3.
【点评】本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性,属于常规题,必须掌握.