江苏省南京市铁心桥中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆的方程为 ,则此椭圆的长轴长为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
参考答案:
D
2. 当时,复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
略
3. 若函数,则( )
A.?1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
D
略
4. 已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直,点P,Q分别是线段BC,DE上的动点(包括端点),PQ=.设线段PQ中点的轨迹为l,则l的长度为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】轨迹方程.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】由题意作出图形,建立空间直角坐标系,设出P、Q、M的坐标,由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示,然后利用PQ=列式,求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周,则l的长度可求.
【解答】解:如图,
以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设P(m,1,0)(0≤m≤1),Q(0,0,n)(0≤n≤1),M(x,y,z),
则由中点坐标公式得:.
∴m=2x,n=2z ①,
∵|PQ|=,
∴m2+n2=1 ②,
把①代入②得,4x2+4z2=1.
即.
∵0≤m≤1,0≤n≤1,
∴.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
轨迹l为在垂直于y轴的平面内,半径为的四分之一圆周.
∴l的长度为.
故选:D.
【点评】本题考查了轨迹方程,训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹,体现了参数思想在解题中的应用,考查了学生的空间想象能力,属难题.
5. 现有10张奖券,8张2元的,2张5元的,某人从中随机地、无放回的抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
6. 过点P(1,2)的直线l平分圆C:的周长,则直线l的斜率为( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
A
7. 圆O的半径为定长,A是平面上一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为( )
A.一个点 B.椭圆
C.双曲线 D.以上选项都有可能
参考答案:
C
【考点】轨迹方程.
【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质,推导新的结论,熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键.
【解答】解:∵A为⊙O外一定点,P为⊙O上一动点
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,
则QA=QP,则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R,
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值,
根据双曲线的定义,可知点Q的轨迹是:以O,A为焦点,OP为实轴长的双曲线
故选:C.
8. 若三点A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,则m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.2
参考答案:
A
【考点】三点共线.
【分析】由 三点A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,可得,即(1,m)=λ?(3,3),由此求得m的值.
【解答】解:∵三点A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,
∴,
∴(1,m)=λ?(3,3)=(3λ,3λ),
解得 m=1,
故选A.
9. 已知点A(-1,1)和圆C:,一束光线从点A经过x轴反射到圆周上的最短路程是( )
A.10 B. C. D.8
参考答案:
B
10. 某几何体的三视图如右图所示,它的体积为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m= .
参考答案:
3
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由已知可得a2,b2的值,求得c2=4﹣m,结合椭圆离心率列式求得m值.
【解答】解:由已知a2=4,b2=m,
则c2=4﹣m,
∴,解得m=3.
故答案为:3.
12. 直线l与两直线y=1,x﹣y﹣7=0分别交于A,B两点,若直线AB的中点是M(1,﹣1),则直线l的斜率为 .
参考答案:
【考点】直线的斜率.
【分析】设出直线l的斜率为k,又直线l过M点,写出直线l的方程,然后分别联立直线l与已知的两方程,分别表示出A和B的坐标,根据中点坐标公式表示出M的横坐标,让表示的横坐标等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率.
【解答】解:设直线l的斜率为k,又直线l过M(1,﹣1),则直线l的方程为y+1=k(x﹣1),
联立直线l与y=1,得到,
解得x=,
∴A(,1);
联立直线l与x﹣y﹣7=0,得到,
解得x=,y=,
∴B(,),
又线段AB的中点M(1,﹣1),
∴,解得k=﹣.
故答案为:
13. 一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 海里.
参考答案:
14. 已知集合,若,则实数m=______________
参考答案:
【分析】
根据A∩B=B,集合的基本运算即可实数m的值.
【详解】∵A∩B=B,A={1,m,9},B={1,m2},
∴B?A,
∴m=m2或m2=9,且m≠1,
解得:m=1(舍去)或m=0,或m=3或-3,
故答案为0,3,-3.
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了集合元素的特性,关键是元素的互异性,比较基础.
15. 已知复数z满足,则的最小值是 ▲ .
参考答案:
4 ;
16. 设x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为 .
参考答案:
7
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=x+y得y=﹣x+z,
平移直线y=﹣x+z,
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得,即A(3,4),
代入目标函数z=x+y得z=3+4=7.
即目标函数z=x+y的最大值为7.
故答案为:7.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键.
17. 已知函数,函数在处的切线方程为 ;
参考答案:
y=2x-e
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.
(I)求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率;
(Ⅱ)用X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案:
(I);(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率,再利用相关公式即得答案;
(Ⅱ)找出随机变量的所有可能取值,分别计算相关概率,从而列出分布列计算数学期望.
【详解】(Ⅰ)解:设事件为“抽取3天中至少有一天空气质量为良”,
事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”,
从7天中随机抽取3天共有种不同的选法,
抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法,
则,
所以,事件发生的概率为.
(Ⅱ)解:随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
,
所以,随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量X的数学期望.
【点睛】本题主要考查对立事件的相关概念与计算,超几何分布的分布列与数学期望,意
在考查学生的分析能力,逻辑推理能力和计算能力.
19. 已知函数.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当时,函数f(x)在(-∞,0)上的最小值为,若不等式有解,求实数t的取值范围.
参考答案:
(1)答案见解析;(2)
【分析】
(1)求出导函数,然后根据的符号进行分类讨论,并借助解不等式组的方法得到单调区间;(2)根据(1)中的结论求出当时,函数在上的最小值,因此问题转化为有解,即有解,构造函数,求出函数的最小值即可得到所求.
【详解】(1)由,
得,
①当时,
令,得,
所以,或,即或,
解得或.
令,得,
所以或,即或,
解得或.
所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为.
②当时,
令,得,由①可知;
令,得,由①可知或.
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,.
综上可得,
当时,的单调递增区间为,;单调递减区间为.
当时,的单调递增区间为;单调递减区间为,.
(2)由(1)可知若,则当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以不等式有解等价于有解,
即有解,
设,则,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的极小值也是最小值,且最小值为,
从而,
所以实数的取值范围为.
【点睛】(1)求函数的单调区间时,若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时,需要对字母进行分类讨论,讨论时要选择合适的标准,同时分类时要做到不重不漏.
(2)解答不等式有解的问题时,常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题,解题时要用到以下结论:在上有解;在上有解.若函数的最值不存在,则可利用函数值域的端点值来代替.
20. 空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别AB,BC,CD,AD的中点,求证:EH∥平面BCD.
参考答案:
21. 2000年我国人口为13亿,如果人口每年的自然增长率为7‰,那么多少年
后我国人口将达到15亿?设计一个算法的程序.
参考答案:
A=13
R=0.007
i=1
DO
A=A*(1+R)
i=i+1
LOOP UNTIL A>=15
i=i-1
PRINT “达到或超过15亿人口需要的年数为:”;i
END
22. 8个大小相同的球中,有2个黑球,6个白球,现从中任取4个球,记取出白球的个
数为X.
(1)求X的分布列;
(2)求
参考答案:
.解:(1)随机变量X 所有的可能取值为2,3,4,则有,………………………1分
由此X的分布列为:
X
2
3
4
P
………………………3分
(2)