陕西省汉中市勉县新铺中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在区间上存在一个零点,则的取值范围是
A. B.或 C. D.
参考答案:
B
略
2. 函数的单调增区间与值域相同,则实数m的取值为
A.一2 B.2 C.一1 D.1
参考答案:
B
3. 已知函数f(x)=,则f(﹣5)的值为( )
A.0 B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用.
【分析】利用分段函数的解析式,转化求解即可.
【解答】解:函数f(x)=,
则f(﹣5)=f(﹣5+2)=f(﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1)=sin=.
故选:B.
【点评】本题考查分段函数的应用,抽象函数求值,三角函数求值,考查计算能力.
4. 已知命题p1:函数在R上为增函数,p2:函数在R上为减函数,则在命题和中,真命题是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 若复数z满足(3+4i)z=25,则复平面内表示z的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【解答】解:(3+4i)z=25,∴(3﹣4i)(3+4i)z=25(3﹣4i),∴z=3﹣4i.
则复平面内表示z的点(3,﹣4)位于第四象限.
故选:D.
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6. 复数(i为虚数单位)在复平面上对应的点所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
略
7. 设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则
(A){1,2,3} (B){1,2,4} (C){2,3,4} (D){1,2,3,4}
参考答案:
答案:D
8. 设为实数,函数的导函数为,且是偶函数, 则曲线:在点处的切线方程为
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. (5分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)( )
A. 关于点(,0)对称 B. 关于点(,0)对称
C. 关于直线x=对称 D. 关于直线x=对称
参考答案:
C
【考点】: 正弦函数的图象.
【专题】: 三角函数的图像与性质.
【分析】: 根据条件求出函数的解析式,结合三角函数的对称性进行求解即可.
解:若f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期是π,
则T=,解得ω=2,
即f(x)=sin(2x+φ),
若其图象向右平移个单位后得到y=sin[2(x﹣)+φ]=sin(2x+φ﹣),
若此时函数为奇函数,
则φ﹣=kπ,k∈Z,
解得φ=+kπ,k∈Z,
∵|φ|≤,
∴当k=﹣1时,φ=﹣,
即f(x)=sin(2x﹣),
由2x﹣=,
得x=+,
故当k=0时,函数的对称轴为x=,
故函数关于直线x=对称,
故选:C.
【点评】: 本题主要考查三角函数解析式的求解,以及三角函数性质的应用,求出函数的解析式是解决本题的关键.
10. 在△ABC中,点D为BC的中点,若AB=,AC=3,则?=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,若,,,则=
参考答案:
由余弦定理可得,即,整理得,解得。
12. 已知的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】由条件利用两角差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.
【解答】解:∵已知 =tan[(α+β)﹣α]= = =﹣,
故答案为:﹣.
13. 若不等式的解集为,则a的取值范围为 。
参考答案:
答案:
14. 曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _。
参考答案:
15. 已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(ln x)-ln2x的零点个数为________.
参考答案:
2
略
16. 已知抛物线的焦点F,过F的直线与抛物线交于A,B两点,则的最小值是 .
参考答案:
抛物线的焦点,
设,,则,
当直线斜率不存在时,,
当直线斜率存在时,设直线的方程为,
代入得,,
,当且仅当时取等号.
∴的最小值是.
17. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P,Q两点,,则直线l的斜率为 .
参考答案:
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】过P做PH⊥准线,垂足为H,由抛物线的定义及,则丨QP丨=4丨PH丨,即可求得tan∠QPH=,即可求得直线的斜率.
【解答】解:过P做PH⊥准线,垂足为H,则丨PH丨=丨PF丨,
由,则丨QF丨=3丨FP丨=3丨PH丨,
则丨QP丨=4丨PH丨,
则cos∠QPH==,
则tan∠QPH=,
∴直线的斜率k=±,
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,数列的前项和为.
参考答案:
(1)∵是和的等差中项,∴
当时,,∴ ----2分
当时,,
∴ ,即
∴数列是以为首项,为公比的等比数列, ∴,----5分
设的公差为,,,∴
∴ --------7分
(2) ----9分
∴ ----12分
19. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中点.
(1)求证:平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(2)求证:A1C∥平面AB1E.
参考答案:
(2)连接A1B,设A1B∩AB1=F,连接EF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B为平行四边形,
所以F为A1B的中点.
又因为E是BC的中点,
所以EF∥A1C.
因为EF在平面AB1E内,A1C不在平面AB1E内,
所以A1C∥平面AB1E.
20. (本小题满分13分)
已知椭圆C:的离心率为,左、右焦点分别为,点G在椭圆C上,且,的面积为3.
(1)求椭圆C的方程:
(2)设椭圆的左、右顶点为A,B,过的直线与椭圆交于不同的两点M,N(不同于点A,B),探索直线AM,BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上,若能,求出这条定直线的方程;若不能,请说明理由。
参考答案:
(1)设,由于,所以,
根据,得,即,
因为的面积为3,,所以,
所以有,解得,所以,
所以椭圆才C的方程为。…………………………………………………5分
(2)由(1)知。
①当直线的斜率不存在时,直线:,直线与椭圆C的交点坐标,,此时直线,联立两直线方程,解得两直线的交点坐标(4,3)。它在垂直于轴的直线上。……………………………7分
②当直线的斜率存在时,
设直线,代入椭圆C的方程,整理得,设直线与椭圆C的交点,则。
直线AM的方程为,即,
直线BN的方程为,即
由直线AM与直线BN的方程消去,得
所以直线AM与直线BN的交点在直线上。………………………………………12分
综上所述,直线AM,BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上,这条直线的方程是。……………………………………………………………………………………13分
21. (本小题满分12分)
已知()的周期开为,且图象上的一个最低点为M(,-1)。
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知,求的值。
参考答案:
(1)由的周期为,
则有, 得; ………1分
所以.
因为函数图像有一个最低点,,
所以 , 且, ……………………3分
则有 , …………………………… 4分
解得, 因为,所以. ………5分
所以, . ……………………………6分
………7分
, , 又,
. ………9分
………11分
= ………12分
22. 已知函数的定义域为;
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为的最大值,若实数,,满足,
求的最小值.
参考答案:
(1)由题意可知恒成立,令,
去绝对值可得:,
画图可知的最小值为-3,所以实数的取值范围为;
(2)由(1)可知,所以,
,
当且仅当,即等号成立,
所以的最小值为.