黑龙江省绥化市百祥中学2023年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数、满足约束条件若,,设表
示向量在方向上的投影,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知平面向量,,则与的夹角为
A. B. C. D.
参考答案:
B
,, 与的夹角为,故选B.
3. 已知函数和在的图象如下所示:
给出下列四个命题:
(1)方程; (2)方程;;
(3)方程; (4)方程.
其中正确的命题个数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
答案:C
4. 设全集
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 函数在定义域R内可导,若,若则的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 某校高级职称教师104人,中级职称教师46人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取42人进行调查,已知从其它教师中共取了12人,则该校共有教师人 ( )
A.60 B.200 C.210 D.224
参考答案:
C
略
7. 已知函数是定义域为R的周期为3的奇函数,且当时,,则方程在区间[0,6]上的解得个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.9
参考答案:
D
∵当x∈(0,1.5)时f(x)=ln(x2﹣x+1),
令f(x)=0,则x2﹣x+1=1,解得x=1
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴在区间∈[﹣1.5,1.5]上,
f(﹣1)=f(1)=0,
f(0)=0
f(1.5)=f(﹣1.5+3)=f(﹣1.5)=﹣f(﹣1.5)
∴f(﹣1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(﹣1.5)=0
又∵函数f(x)是周期为3的周期函数
则方程f(x)=0在区间[0,6]上的解有0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6
共9个
故选:D.
8. 设a,b是不同的直线,α、β是不同的平面,则下列命题:
①若 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是 ( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
9. 下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“?x∈R,均有x2﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得x2﹣x+1<0”
B.“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件
C.若“p∧(¬q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题
D.存在m∈R,使f(x)=(m﹣1)﹣4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上是递增的
参考答案:
B
考点:命题的真假判断与应用.
专题:简易逻辑.
分析:利用命题的否定判断A的正误;利用充要条件判断B的正误;利用命题的真假判断C的正误;幂函数的定义判断D的正误;
解答: 解:对于A,命题“?x∈R,均有x2﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得x2﹣x+1<0”,不满足特称命题与全称命题的否定关系,所以A不正确;
对于B,“x=3”可以推出“2x2﹣7x+3=0”成立,但是2x2﹣7x+3=0,不一定有x=3,所以“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件,所以B正确.
对于C,若“p∧(¬q)”为真命题,说明P,¬q是真命题,则“p∧q”也为假命题,所以C不正确;
对于D,存在m∈R,使f(x)=(m﹣1)﹣4m+3是幂函数,可得m=2,函数化为:f(x)=x0=1,所函数在(0,+∞)上是递增的是错误的,所以D不正确;
故选:B.
点评:本题考查命题的真假的判断,命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的性质的应用,基本知识的考查.
10. 已知直线为双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为:,
则双曲线的一条渐近线为: ,
据此有:.
本题选择D选项.
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的展开式中,的系数是__________.
参考答案:
80.
【分析】
先求出二项展开式的通项,然后可求出的系数.
【详解】由题意得,二项展开式的通项为,
令得的系数为.
故答案:.
【点睛】解答此类问题的关键是求出二项展开式的通项,然后再根据所求问题通过赋值法得到所求,属于基础题.
12.
函数,则函数的值域是 。
参考答案:
答案:
13. 在直角三角形中,,,,若,
则 .
参考答案:
略
14. 已知x>0时有不等式x+≥2,x+=++≥3,…成立,由此启发我们可以推广为x+≥n+1(n∈N*),则a的值为 .
参考答案:
nn
【考点】F1:归纳推理.
【分析】分析各个不等式的特点,归纳出a的值..
【解答】解:第一个不等式的a=1,第二个不等式的a=4=22,
则由归纳推理可知,第n个不等式的a=nn.
故答案为:nn
15. 已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形,侧棱底面,且,则该四棱椎的体积是
参考答案:
96
16. 设双曲线的右顶点为,右焦点为.过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点,则的面积为 .
参考答案:
双曲线的右顶点为,右焦点,双曲线的渐近线为,过点且与平行的直线为,则,即,由,解得,即,所以的面积为.
17. 已知,,则 .
参考答案:
本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力.
因为,所以.又 ,
所以.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某地区地理环境偏僻,严重制约经济发展,影响了某种土特产品销售。该地区政府每投资x万元,所获利润为万元. 为顺应开发大西北的宏伟决策,该地区政府在制订经济发展十年规划时,拟开发此种土特产品,而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元. 若开发该产品,必须在前5年中,每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路,且5年可以修通. 公路修通后该土特产品销售渠道拓宽,每投资x万元,可获利润万元. 问从该土特产十年的投资总利润(未用来投资的专项财政拨款视为利润)来看,该项目有无开发价值?请详细说明理由.
参考答案:
解析:该项目有开发的价值.
(1) 若不开发该产品:
因为政府每投资x万元,所获利润为万元,
投资结余万元,故可设每年的总利润为
万元
故十年总利润为2220万元.
(2)若开发该产品
前五年每年所获最大利润为万元,
后五年可设每年总利润为
,
万元
故十年总利润为
所以从该土特产十年的投资总利润来看,该项目具有开发价值.
略
19. (本小题满分13分)如图,椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,过作与轴垂直的直线与椭圆交于,而与抛物线交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)若过的直线与椭圆相交于两点和,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
参考答案:
解⑴焦点,,
⑵ 即
设
得
即
.
20. 文:(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,正方体的棱长为2,点为面的对角线的中点.平面交于点,于点.
(1)求异面直线与所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)因为点为面的对角线的中点.平面,所以为△的中位线,得,
又,所以………………( 2分)
因为在底面中,,所以,又,D为异面直线与所成角的平面角,………………( 6分)
在△中,D为直角,,所以。
即异面直线与所成角的大小为。………………………( 8分)
(2),………………………(9分)
,………………………( 12分)
计算得三棱锥的体积为。………………………( 14分)
21. (本小题满分13分)
如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,,点D是棱BC的中点。
(Ⅰ)求证:平面BCC1B1;
(Ⅱ)求证:A1B//平面AC1D;
(Ⅲ)求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值。
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:因为侧面,均为正方形
所以
所以平面 ……………………………………………………………1分
因为平面,所以 ………………………………2分
又因为,为中点,所以 ………………………3分
因为,所以平面 ………………………………4分
(Ⅱ)证明:连结,交于点,连结
因为为正方形,所以为中点
又为中点,所以为中位线
所以 …………………………6分
因为平面,平面
所以平面………………………8分
(Ⅲ)解: 因为侧面,均为正方形,
所以两两互相垂直,
如图所示建立直角坐标系
设,则
………………9分
设平面的法向量为,则有
,, 所以
取,得 ………………10分
又因为平面
所以平面的法向量为………………………………………11分
………