河南省新乡市建勋中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域是( )
参考答案:
B
略
2. 已知集合,则( )
参考答案:
B
略
3. 下列函数为奇函数,且在上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则△ABC的面积为( )
A.6 B.3 C. D.
参考答案:
A
【考点】平面图形的直观图.
【分析】将直观图还原成平面图形,根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长,计算面积.
【解答】解:直观图还原成平面图形,则∠ACB=2∠A′C′B′=90°,BC=B′C′=4,AC=A′C′=6,
∴△ABC的面积为=12.
故选:A.
5. 若为三角形的一个内角,且,则这个三角形是( )
A 正三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形
参考答案:
D
6. 下列各函数中为奇函数的是( )
A、 B. C. D.
参考答案:
C
7. 执行下侧程序框图,若输入的值分别为6,8,0,则输出和的值分别为( )
A.2,4 B.0,4 C.2,3 D.0,3
参考答案:
A
程序执行中的数据变化如下:
成立,所以输出
8. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 若成等差数列,则的值等于( )
A. B.或 C. D.
参考答案:
D 解析:
10. 函数的零点所在的一个区间是 ( )
A.(-2, -1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数 的值域是 .
参考答案:
或.
且,所以,根据正切函数的图像可知值域为或.
12. 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间上是单调函数,则a的取值范围是____________________;
参考答案:
或者
13. 函数的最大值为
参考答案:
14. 若,则= .
参考答案:
sin
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】利用二倍角的余弦公式的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,化简所给的式子,可得结果.
【解答】解:若,则==
=|sin|=,
故答案为:sin.
15. 化简= .
参考答案:
【考点】9B:向量加减混合运算及其几何意义.
【分析】利用向量的减法运算即可得出.
【解答】解:原式==.
故答案为.
16. .
参考答案:
17. 函数的定义域是 .
参考答案:
(0,1]
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由被开方数大于等于0,然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围,写出集合区间形式即为函数的定义域.
【解答】解:由logx≥0,
解得:0<x≤1
∴函数的定义域是(0,1].
故答案为:(0,1].
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某学校高三年级学生某次身体素质体能的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A
B
C
D
规定:A,B,C三级为合格等级,D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.
按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示
(1)求n和频率分布直方图中的x,y的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率;
(2)根据频率分布直方图,求成绩的中位数(精确到0.1);
(3)在选取的样本中,从A,D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研,求至少有一名学生是A等级的概率.
参考答案:
(1),;合格等级的概率为;(2)中位数为73.9;(3)
【分析】
(1)由题意求出样本容量,再计算x、y的值,用频率估计概率值;
(2)根据频率分布直方图,计算成绩的中位数即可;
(3)由茎叶图中的数据,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.
【详解】(1)由题意知,样本容量,
,
;
因为成绩是合格等级人数为:人,
抽取的50人中成绩是合格等级的概率为,
即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为;
(2)根据频率分布直方图,计算成绩的中位数为;
(3)由茎叶图知,A等级的学生有3人,D等级的学生有人,
记A等级的学生为A、B、C,D等级的学生为d、e、f、g、h,
从这8人中随机抽取2人,基本事件是:
AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、
Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个;
至少有一名是A等级的基本事件是:
AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、
Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个;
故所求的概率为.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了列举法求古典概型的概率问题,是基础题.
19. (本小题满分12分)设函数,如果当时总有意义,求的取值范围.
参考答案:
由题意可知当时,恒成立,
即恒成立,得,即,
得,令,由得,
得,所以.
20. A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两城供电.为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于45km.已知供电费用(元)与供电距离(km)的平方和供电量(亿度)之积成正比,比例系数λ=0.2,若A城供电量为30亿度/月,B城为20亿度/月.
(Ⅰ)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(Ⅱ)核电站建在距A城多远,才能使供电费用最小,最小费用是多少?
参考答案:
考点: 函数模型的选择与应用.
专题: 计算题;应用题.
分析: (Ⅰ)由题意得到每月给A城供电的费用和每月给B城供电的费用,求和可得月供电总费用,由核电站到两城的距离不小于45km得到函数定义域;
(Ⅱ)利用配方法求函数的最小值.
解答: 解:(Ⅰ)每月给A城供电的费用为0.2×30×x2,每月给B城供电的费用为0.2×20×(100﹣x)2,
∴月供电总费用y=0.2×30×x2+0.2×20×(100﹣x)2.
即y=10x2﹣800x+40000.
由,得45≤x≤55.
∴函数解析式为 y=10x2﹣800x+40000,定义域为;
(Ⅱ)由y=10x2﹣800x+40000,得y=10(x﹣40)2+24000,
∵x∈,∴y在上单调递增,
∴当x=45时,.
故当核电站建在距A城45km时,才能使供电费用最小,最小费用为24250元.
点评: 本题考查了函数模型的选择及应用,考查了简单的数学建模思想方法,训练了分段函数解析式的求法,分段函数的最值得求法,分段函数的最值要分段求,是中档题.
21. 已知函数f(x)=b?ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若不等式在x∈(﹣∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;指数函数综合题.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】(I)将点的坐标,代入函数解析式,即可求得f(x)的解析式;
(II)求出在x∈(﹣∞,1]上的最小值,不等式在x∈(﹣∞,1]上恒成立,转化为g(x)min≥2m+1,从而可求实数m的取值范围.
【解答】解:(I)由题意得,∴a=2,b=3,…
∴f(x)=3?2x…
(II)设,则y=g(x)在R上为减函数.…
∴当x≤1时,…
∵在x∈(﹣∞,1]上恒成立,…
∴g(x)min≥2m+1,…
∴,∴
∴m的取值范围为:.…
【点评】本题考查函数解析式的确定,考查恒成立问题,求出函数的最值是关键.
22. 已知函数
(1)求的定义域
(2)解不等式
参考答案:
(1)定义域为 (2)