河南省郑州市技术产业开发区中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={x|<0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用.
【分析】由分式不等式的解法, ?0<x<1,分析有A?B,由集合间的包含关系与充分条件的关系,可得答案.
【解答】解:由得0<x<1,即A={x|0<x<1},
分析可得A?B,
即可知“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件,
故选A.
【点评】本日考查集合间的包含关系与充分、必要条件的关系,如果A是B的子集,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件.
2. 已知,且是第四象限的角,则=( )
A . B. C.- D. -
参考答案:
B
略
3. 若,,则sin(2π﹣α)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】GO:运用诱导公式化简求值.
【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值,再根据α的范围求得sinα的值,可得要求式子的值.
【解答】解:∵ =﹣cosα,∴cosα=.
又,∴sinα=﹣=﹣,∴sin(2π﹣α)=﹣sinα=,
故选:B.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
4. 对于函数的图象及性质的下列表述,正确的是( )
A.图像上的纵坐标不可能为1 B.图象关于点(1,1)成中心对称
C.图像与轴无交点 D.图像与垂直于轴的直线可能有两个交点
参考答案:
A
函数 因为 所以图像上的纵坐标不可能为1,故A对;图像关于(-1,1)中心对称,故B错;当x=-2时, 则图像与轴有交点,故C错;是函数,所以对于任意一个 值有唯一一个值对应,故D错,不可能一个x对应两个y值;
故选A
5. (5分)已知 f(x)=,则 f[f(﹣2015)]=()
A. 0 B. 2015 C. e D. e2
参考答案:
C
考点: 函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据分段函数代入进行求解.
解答: 由分段函数得f(﹣2015)=0,
则f(0)=e,
则f[f(﹣2015)]=f(0)=e,
故选:C
6. 函数y=2﹣的值域是( )
A.[﹣2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[﹣,]
参考答案:
C
【考点】函数的值域.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】可知0≤﹣x2+4x≤4,从而求函数的值域.
【解答】解:∵0≤﹣x2+4x≤4,
∴0≤≤2,
∴0≤2﹣≤2,
故函数y=2﹣的值域是[0,2].
故选:C.
【点评】本题考查了函数的值域的求法,属于基础题.
7. 在△ABC中,,则A与B的大小关系为( )
A.A<B B.A=B C.A>B D.不确定
参考答案:
C
在△ABC中,若sinA>sinB,由正弦定理可得:a>b,可得A>B.
8. 若f(x)=x2﹣ax+1的函数值能取到负值,则a的取值范围是( )
A.a≠±2 B.﹣2<a<2 C.a>2或a<﹣2 D.1<a<3
参考答案:
C
【考点】二次函数的性质.
【分析】欲使f(x)=x2﹣ax+1有负值,利用二函数的图象知,f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,再根据根的判别式即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:f(x)有负值,
则必须满足f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
其充要条件是:△=(﹣a)2﹣4>0,a2>4
即a>2或a<﹣2.
故选C.
【点评】本小题主要考查一元二次不等式的应用、函数的解析式、恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
9. 如图曲线对应的函数是( )
A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=﹣sin|x| D.y=﹣|sinx|
参考答案:
C
【考点】35:函数的图象与图象变化.
【分析】应用排除法解决本题,先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样,可排除一些选项,再从左侧观察又可排除一些,从而可选出答案.
【解答】解:观察图象知:
在y轴的右侧,它的图象与函数y=﹣sinx相同,排除A、B;
又在y轴的左侧,它的图象与函数y=sinx相同,排除D;
故选C.
10. 阅读右边的程序框图,若输入的是100,则输出的变量的值是( )
A. 0 B. 50 C.-50 D.25
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 斜率为1的直线被圆截得的弦长为2,则直线的方程为
参考答案:
或
12. (5分)函数在区间[0,n]上至少取得2个最大值,则正整数n的最小值是 .
参考答案:
8
考点: 三角函数的周期性及其求法.
专题: 计算题.
分析: 先根据函数的解析式求得函数的最小正周期,进而依据题意可推断出在区间上至少有个周期.进而求得n≥6×,求得n的最小值.
解答: 周期T==6
在区间[0,n]上至少取得2个最大值,说明在区间上至少有个周期.
6×=
所以,n≥
∴正整数n的最小值是8
故答案为8
点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法.考查了考生对三角函数周期性的理解和灵活利用.
13. 已知集合,,则
参考答案:
14. 已知tanα=,则= .
参考答案:
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tanα=,则===,
故答案为:.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.
15. 函数的定义域为 .
参考答案:
16. 函数的定义域是 .
参考答案:
{x|x≤4,且x≠﹣1}
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 要使函数有意义,只要即可.
解答: 解:要使函数有意义,须满足,解得x≤4且x≠﹣1,
故函数f(x)的定义域为{x|x≤4,且x≠﹣1}.
故答案为:{x|x≤4,且x≠﹣1}.
点评: 本题考查函数的定义域及其求法,属基础题,若函数解析式为偶次根式,被开方数大于等于0;若解析式为分式,分母不为0.
17. 如图,已知圆,六边形ABCDEF为圆M的内接正六边形,点P为边AB的中点,当六边形ABCDEF绕圆心M转动时,的取值范围是________.
参考答案:
【分析】
先求出,再化简得即得的取值范围.
【详解】由题得OM=,
由题得
由题得.
.
所以的取值范围是.
故答案为:
【点睛】本题主要考查平面向量的运算和数量积运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)已知函数(),将的图象向右平移两
个单位,得到函数的图象,函数与函数的图象关于直线对
称.
(Ⅰ)求函数和的解析式;
(Ⅱ)若方程在上有且仅有一个实根,求的取值范围;
(Ⅲ)设,已知对任意的恒成立,求的
取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ).
设的图像上一点,点关于的对称点为,
由点在的图像上,所以,
于是 即.
(Ⅱ)设,,∴.
得,即在上有且仅有一个实根.
设,对称轴.
若,则,两根为.适合题意;
若,则,两根为.适合题意.
若在内有且仅有一个实根, 则
① 或 ②
由①得 ;
由②得 无解. 综上知
(Ⅲ).
由,化简得,设,.
即对任意恒成立.
解法一:设,对称轴
则③ 或 ④
由③得, 由④得,即或.
综上,.
解法二:注意到,分离参数得对任意恒成立.
设,,即
.
可证在上单调递增. , ,即.
略
19. (本小题满分12分)
已知指数函数是减函数,求实数的值。
参考答案:
20. (8分)已知=(6,1),=(x,8),=(﹣2,﹣3)
(1)若,求x的值
(2)若x=﹣5,求证:.
参考答案:
考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平行向量与共线向量.
专题: 平面向量及应用.
分析: (1)由可得﹣3x=﹣2×8,解方程可得;
(2)当x=﹣5时,可得的坐标,可得=0,可判垂直.
解答: 解:(1)∵=(x,8),=(﹣2,﹣3)
又∵,∴﹣3x=﹣2×8,
解得x=
(2)当x=﹣5时,=++=(4+x,6)=(﹣1,6),
∵=(6,1),∴=﹣1×6+6×1=0
∴.
点评: 本题考查数量积与向量的垂直关系和平行关系,属基础题.
21. 已知圆C:(x﹣1)2+y2=4
(1)求过点P(3,3)且与圆C相切的直线l的方程;
(2)已知直线m:x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点,求|AB|
参考答案:
【考点】圆的切线方程.
【专题】计算题;分类讨论;综合法;直线与圆.
【分析】(1)设出切线方程,求出圆的圆心与半径,利用圆心到直线的距离等于半径,求出k,写出切线方程即可;
(2)求出圆心到直线的距离,利用勾股定理求弦|AB|的长.
【解答】解:(1)设切线方程为y﹣3=k(x﹣3),即kx﹣y﹣3k+3=0,
∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,
∴=2,解得k=,
∴切线方程为y﹣3=(x﹣3),即5x﹣12y+21=0,
当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,
故直线x=3也适合题意.
所以,所求的直线l的方程是5x﹣12y+21=0或x=3.
(2)圆心到直线的距离d==,
∴|AB|=2=2.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查圆的切线方程的求法,注意直线的斜率存在与不存在情况,是本题的关键.
22. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
(i)用所给编号列出所有可能的结果;
(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
参考答案:
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.
【分析】(Ⅰ)由题意可得抽取比例,可得相应的人数;
(Ⅱ)(i)列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种;
(ii)事件A包含上述9个,由概率公式可得.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可得抽取比例为=,
27×=3,9×=1,18×=2,
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2;
(Ⅱ)(i)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),