浙江省湖州市南北庄中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中,已知,,,则角( )
A. B. C. 或 D. 或
参考答案:
A
略
2. 下列四组函数,表示同一函数的是( )
A.f(x)=,g(x)=x B.f(x)=x,g(x)=
C. D.
参考答案:
D
略
3. 甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计用茎叶图表示如图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示,则下列结论正确的是( )
A.,且甲比乙成绩稳定 B.,且乙比甲成绩稳定
C.,且甲比乙成绩稳定 D.,且乙比甲成绩稳定
参考答案:
A
略
4. 已知等差数列{an}中的前n项和Sn,若
A.145 B. C.161 D.
参考答案:
C
设等差数列{an}的公差为d,∵,∴2(a1+9d)=a1+7d+7,化为:a1+11d=7=a12.
则S23==23a12=161.
故选:C.
5. 若函数y=x2—x—4的定义域为[0,m],值域为[,-4],则m的取值范围是( )
A. B.[ ,4] C.[ ,3] D.[ ,+∞]
参考答案:
C
6. 已知为正实数,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
7. 设lg2=a,lg3=b,则log512等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】4H:对数的运算性质.
【分析】先用换底公式把log512转化为,再由对数的运算法则知原式为=,可得答案.
【解答】解:log512===.
故选C.
8. 已知圆截直线所得弦的长度为,则实数a的值为( )
A. -2 B. 0 C. 2 D. 6
参考答案:
B
【分析】
先将圆化为标准式,写出圆心和半径,再求出圆心到直线的距离,由垂径定理列方程解出即可.
【详解】解:将圆化为标准式为,得圆心为,半径
圆心到直线的距离,又弦长
由垂径定理得,即
所以
故选:B.
【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长,属于基础题.
9. 若是△的一个内角,且,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知,,当时,均有,则实数的取
值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
由已知得即.令,
当时,所以;当时,所以
综上,的取值范围是
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一圆柱和一圆锥的底面半径均为,母线长均为,则表面积
参考答案:
2:1
12. 用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时,如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行,则这个正三角形的直观图的面积是 .
参考答案:
【考点】LB:平面图形的直观图.
【分析】根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可.
【解答】解:如图△A'B'C'是边长为2的正三角形ABC的直观图,则A'B'=2,C'D'为正三角形ABC的高CD的一半,即C'D'==,
则高C'E=C'D'sin45°=,
∴三角形△A'B'C'的面积为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查斜二测画法的应用,要求熟练掌握斜二测对应边长的对应关系,比较基础.
13. 已知函数当时,f(x)的值域为________;若f(x)在R上单调递减,则a的取值范围是________.
参考答案:
【分析】
当时,分别求出和时的值域,再求并集即可;在R上单调递减,则需要时单调递减和,即可解出答案.
【详解】由题意,当时,,
所以当时,的值域为,
当时,单调递减,,又,
所以时的值域为,
所以的值域为;
若在R上单调递减,则需时单调递减,
以及时,,
故,
故.
故答案:;
【点睛】本题主要考查求函数值域、指数函数和分段函数的图像性质,属于中档题
14. 设集合={a2,a+b,0},则a2014+b2015= .
参考答案:
1
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】根据集合相等的条件建立条件关系,即可求出a,b的值,进而可得a2014+b2015的值.
【解答】解:∵集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},且A=B,
∴a≠0,则必有=0,即b=0,
此时两集合为A={a,0,1},集合Q={a2,a,0},
∴a2=1,
∴a=﹣1或1,
当a=1时,集合为P={1,0,1},集合Q={1,1,0},不满足集合元素的互异性.
当a=﹣1时,P={﹣1,0,1},集合Q={1,﹣1,0},满足条件,
故a=﹣1,b=0.
a2014+b2015=1,
故答案为:1.
15. (5分)在大小为60°的二面角α﹣1﹣β中,已知AB?α,CD?β,且AB⊥l于B,CD⊥l于D,若AB=CD=1,BD=2,则AC的长为 .
参考答案:
考点: 与二面角有关的立体几何综合题.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 如图所示,,利用数量积运算性质可得=+,由AB⊥l于B,CD⊥l于D,可得=0.又在大小为60°的二面角α﹣1﹣β中,可得=1×1×cos120°,代入计算即可得出.
解答: 解:如图所示,
,
∴=+,
∵AB⊥l于B,CD⊥l于D,
∴=0,
又在大小为60°的二面角α﹣1﹣β中,
∴=1×1×cos120°=﹣,
∴=1+22+1﹣=5,
∴=.
故答案为:.
点评: 本题考查了向量的多边形法则、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、二面角的应用,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16. 设U={1,2,3,4},A与B是U的两个子集,若A∩B={3,4},则称(A,B)为一
个“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是 个.(规定:(A,B)与
(B,A)是两个不同的“理想配集”)
参考答案:
9
17. 已知为锐角,且,则的最大值为 ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 学校对同时从高一,高二,高三三个不同年级的某些学生进行抽样调查,从各年级抽出人数如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取6人进行调查
年级
高一
高二
高三
数量
50
150
100
(1)求这6位学生来自高一,高二,高三各年级的数量;
(2)若从这6位学生中随机抽取2人再做进一步的调查,求这2人来自同一年级的概率.
参考答案:
【考点】B8:频率分布直方图;CB:古典概型及其概率计算公式.
【分析】(1)求出样本容量与总体中的个体数的比是=,即可求这6位学生来自高一,高二,高三各年级的数量;
(2)利用枚举法列出从这6位学生中随机抽取2人的不同结果,求出2人来自同一年级的情况数,由古典概型概率计算公式得答案.
【解答】解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是=,
所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50×=1,150×=3,100×=2.
所以高一,高二,高三三个年级的学生被选取的人数分别为1,3,2.
(2)设6件来自高一,高二,高三三个地区的学生分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.
则抽取的这2人构成的所有基本事件为:
{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.
每个人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件D:“抽取的这2人来自相同年级”,
则事件D包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.
所以P(D)=,即这2人来自相同年级的概率为.
19. 设a为实数,记函数f(x)=a++的最大值为g(a).
(1)设t=+,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g()的所有实数a.
参考答案:
【考点】函数最值的应用.
【分析】(1)令t=+,由1+x≥0且1﹣x≥0,得﹣1≤x≤1,进而得m(t)的解析式.
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t﹣a,t∈[,2]的最大值,分a>0、a=0、a<0三种情况利用函数的单调性求出函数f(x)的最大值为g(a);
(3)分类讨论,求得g(a)的范围,即可求得满足g(a)=g()的所有实数a.
【解答】解:(1)∵t=+,要使t有意义,必须1+x≥0且1﹣x≥0,即﹣1≤x≤1.
∵t2=2+2∈[2,4],且t≥0…①,
∴t的取值范围是[,2].
由①得: =t2﹣1,∴m(t)=a(t2﹣1)+t=at2+t﹣a,t∈[,2].
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t﹣a,t∈[,2]的最大值,
∵直线t=﹣是抛物线m(t)=at2+t﹣a的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:
1°当a>0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,
由t=﹣<0知m(t)在t∈[,2]上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;
2°当a=0时,m(t)=t,在t∈[,2]上单调递增,有g(a)=2;
3°当a<0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
若t=﹣∈(0,]即a≤﹣时,g(a)=m()=,
若t=﹣∈(,2]即a∈(﹣,﹣]时,g(a)=m(﹣)=﹣a﹣,
若t=﹣∈(2,+∞)即a∈(﹣,0)时,g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,有g(a)=;
(3)当a>﹣时,g(a)=a+2>>
a∈(﹣,﹣]时,﹣a∈[,],﹣a≠﹣
g(a)=﹣a﹣>2=
∴a>﹣时,g(a)>
当a>0时,>0,由g(a)=g()可得,∴a=1;
当a<0时,a?=1,∴a≤﹣1或≤﹣1
∴g(a)=或g()=
要使g(a)=g(),只需a≤﹣,≤﹣,∴
综上,满足g(a)=g()的所有实数a或a=1.
20. 已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x﹣a<0}.
(1)当a=3时,求A∩B,A∪B;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算.
【专题】计算题;方程思想;综合法;集合.
【分析】(1)当a=3时,利用两个集合的交、并集的定义求得A∩B,A∪B.
(2)由题意知,集合A={x|1≤x<4},集合B={x|x<a},由A?B,可得a≥4,从而求得实数a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=3时,B={x|x<3}.
∴A∩B={x|1≤x<3},A∪B={x|x<4};
(2)∵A?B,B={x|x<a},
∴a≥4,
故实数a的取值范围为[4,+∞).
【点评】本题主要考查两个集合的并集的求法,集合间的包含关系,求集合中参数的范围,属于基础题.
21. (12分)已知sin是方程的根,
求的值.
参考答