湖南省怀化市龙潭镇中学高二数学文联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．
【解答】解：如图所示，
在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，
由余弦定理得
|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF
=100+64﹣2×10×8×
=36，
∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e==．
故选B．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．
2. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 B．a，b，c中至少有两个偶数
C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数
参考答案：
A
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行；
C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。
参考答案：
C
【知识点】点线面的位置关系
因为C．垂直于同一平面的两条直线平行 是一个定理，A、B、D均能找到反例.所以，只有C为真命题
4. 三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）
A．１条 B．２条 C．３条 D．１条或２条
参考答案：
C
5. 函数的最大值为
A、 B、 C、3 D、
参考答案：
A
6. 如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（ ）
A．1 B． C． D．5
参考答案：
D
【考点】复数求模．
【分析】由题意求得z，进一步得到向量的坐标，代入向量模的公式计算．
【解答】解：由题意，z=3﹣4i，
∴z对应的向量的坐标为（3，﹣4），其模为．
故选：D．
7. 已知m、n、l为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题
①若； ②
③； ④
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案：
B
略
8. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到抛物线准线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
参考答案：
C
9. 设（，），（，），…，（，）是变量和的个样本点，
直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以
下结论中正确的是
Ａ．直线过点
Ｂ和的相关系数为直线的斜率
Ｃ．和的相关系数在0到1之间
Ｄ．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
参考答案：
A
略
10. 已知a,b,c满足c﹤b﹤a且ac﹤0,那么下列选项中一定成立的是( )
A. ab ﹤ac B. c(b-a)﹥0 C.cb﹤ ab D. ac(a-c)﹥0
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算：=___ __.
参考答案：
12. 定义某种运算?，S=a?b的运算原理如图，则式子6?3+3?4= ．
参考答案：
20
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．
【分析】通过程序框图判断出S=a?b的解析式，求出6?3+3?4的值．
【解答】解：有框图知S=a?b=，
∴6?3+3?4=6×（3﹣1）+4×（3﹣1）=20．
故答案为：20．
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
13. 已知数列的前n项和，则通项=___________．
参考答案：
略
14. 已知= .
参考答案：
- 2
略
15. 在中，若，则的最大值为 ▲ ．
参考答案：
16. 设a=则二项式的常数项是
参考答案：
--160
略
17. 一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是 ．
参考答案：
21
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m(底面直径不变)。
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？
参考答案：
（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,则仓库的体积
如果按方案二，仓库的高变成8M，则仓库的体积
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
如果按方案二，仓库的高变成8M.
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
（3） ，
19. 过点M(0，1)作直线，使它被两已知直线l1: x－3y+10=0和l2:2x+y－8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.
参考答案：
解法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设直线方程y=kx+1，若与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组可得
xA=,xB=. 由题意+=0,
∴k=－.故直线方程为x+4y－4=0.
解法二：设所求直线方程y=kx+1,
代入方程(x－3y+10)(2x+y－8)=0，得(2－5k－3k2)x2+(28k+7)x－49=0.
由xA+xB=－=2xM=0,解得k=－.
∴直线方程为x+4y－4=0.
解法三：∵点B在直线2x－y－8=0上，故可设B(t,8－2t)，由中点公式得A(－t,2t－6). ∵点A在直线x－3y+10=0上，
∴(－t)－3(2t－6)+10=0,得t=4.∴B(4,0).故直线方程为x+4y－4=0.
20. 已知双曲线的离心率为，右准线方程为,
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值.
参考答案：
略
21. 已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的极小值；
（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）
解：（Ⅰ）定义域．
当时，，．
令，得．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数.
所以函数的极小值是． 5分
（Ⅱ）由已知得．
因为函数在是增函数，所以，对恒成立．
由得，即对恒成立．
设，要使“对恒成立”，只要．
因为，令得．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数.
所以在上的最小值是．
故函数在是增函数时，实数的取值范围是 13分
考点：1函数的概念和性质；2导数和利用导数研究函数性质。
略
22. 函数f（x）=lnx﹣mx
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅲ）若x∈[1，e]，求证：lnx＜．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），可得﹣1=ln1﹣m，解得m，再利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方程．
（Ⅱ）求出f′（x），对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出最值．
（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），∴﹣1=ln1﹣m，解得m=1．
∴f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1，
f′（1）=0，
∴过点P（1，﹣1）的切线方程为y=﹣1．
（Ⅱ）∵f′（x）=﹣m=．
①当m≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，∵在x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me．
②当＜m＜1时，即1＜＜e时，x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数．
x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数．
∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（）=﹣lnm﹣1．
③当m≥1时，0＜≤1，f（x）在（，+∞）为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m．
④当0＜m≤时，≥e，f（x）在（0，）为单增函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me．
综上所述：m≤时，f（x）max=f（e）=1﹣me．
当＜m＜1时，f（x）max=f（）=﹣lnm﹣1．
当m≥1时，x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m．
（Ⅲ）由（Ⅱ）②得：m=，f（x）max=f（）=f（2）=﹣ln2﹣1＜0，
故x∈[1，e]，lnx＜．