一、选择题
1. 函数在处取得极大值,则必有[ D ]
(A) (B) (C) (D)
2. “”是的函数曲线在处有拐点的[ D ]
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)既非必要也非充分条件
3. 对曲线,下列结论正确的是[ D ]
(A) 有4个极值点 (B) 有3个拐点 (C) 有2个极值点 (D) 有1个拐点
4. 设在点处连续,在的某去心邻域内可导,且时,,则[ B ]
(A) 为极大值 (B) 为极小值 (C) (D) 不是的极值点
二、填空题
1. 设函数,则。
2. 若,则。
3. 设函数由方程确定,则。
4. 若曲线和在点处相切,其中是常数,则
三、计算证明题
1.已知在内可导,且,,求的值。
解:
2. 计算极限
解:
3. 求函数在其定义域上的极值。
解:,使导数为零或不存在的点有,
(-, -1)
-1
(-1, )
(, 5)
5
(5, )
f ’(x)
--
不存在
+
0
--
0
+
f (x)
极小值
极大值
极小值
4. 一架巡逻直升机在距地面3km的高度以120km/h的速度沿水平笔直的高速公路向前飞行,雷达监测到迎面驶来的一辆汽车,测得与直升机距离为5km,且以160km/h的速度在接近,求汽车的水平行驶速度。
解:设为时间,飞机的坐标为,汽车的坐标为
,飞机汽车间距离为
在时刻,,,
求。
上式中代入即可算得
所以汽车时速为。
5. 利用凹凸性证明不等式:xn+yn2>x+y2n (x,y>0,x≠y,n>1)
解:若函数在某区间上为凹函数,则有
当,则有。令,证明在上为凹函数。
6. f(x)在[0,+∞]可导,且,证明:.
解:,其中 ,所以,
。
7. 求由方程lnx2+y2=arctanyx确定的函数y=y(x)的导数。(提示:两边求微分或求导)
解: à à à
à
8. 求曲线x=t-ln1+ty=t3+t2 在t=1处的切线方程。(提示:dydx=dydt/dxdt)
解: ,
( 另:d2ydx2=ddxdydx=ddtdydx⋅dtdx=ddtdydx/dxdt [复合函数求导法则] )