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高一下学期第三次月考数学试卷(含答案解析) 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 第I卷(选择题) 一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1. 复数的共轭复数是( ) A. B. C. D. 2. 若复数对应复平面内的点,且,则复数的虚部为( ) A. B. C. D. 3. 复数z满足,则( ) A. B. C. D. 4. 正方体的棱长为1,M是棱的中点,O是的中点,则MO的长为( ) A. B. C. D. 5. 已知复数的实部为4,其中a,b为正实数,则的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. D. 6. 已知是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若,则( ) A. 1 B. C. D. 7. 在中,,分别为角A,B,C的对边,则的形状为( ) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的个数是( ) ①若,则; ②若,,,则有两解; ③若为钝角三角形,则; ④若,,则面积的最大值为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,若,,则的面积是( ) A. 3 B. C. D. 10. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若CD是角C的平分线,,,求CD的长.( ) A. 3 B. 2 C. D. 第II卷(非选择题) 二、填空题(本大题共5小题,共25.0分) 11. 下列关于棱锥、棱台的说法: ①棱台的侧面一定不会是平行四边形; ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥; ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是______. 12. 水平放置的的斜二测直观图如图所示,已知,,则AB边上的中线的实际长度为______ . 13. 两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形,以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为______ 14. 有三座城市A,B,C,其中A在B的正东方向,且与B相距100km,C在A的北偏东方向,且与A相距300km,一架飞机从城市A出发,以的速度向城市C飞行,飞行后,接到命令改变航向,飞往城市B,此时飞机距离城市B______ 15. 如图,四面体ABCD的一条棱长为x,其余棱长均为2,记四面体ABCD的表面积为,则函数的定义域为__________;最大值为__________. 三、解答题(本大题共4小题,共35.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 本小题分 已知复数,其中m为实数,i为虚数单位. 为何值时,z是纯虚数; 若复数z在复平面上对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围. 17. 本小题分 在锐角中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知, 能否成立?请说明理由; 若,求 18. 本小题分 在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,的面积为 现有以下三个条件: ①;②;③ 请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上,并求解. 已知向量,,函数,在中,,且____,求的取值范围. 19. 本小题分 某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形ABC的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,单位:米,E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设 求AE、AF的长用的代数式表示; 为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大即休息区尽可能小当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少? 参考答案和解析 1.【答案】A 【解析】解:复数的共轭复数是 故选: 直接利用共轭复数的概念得答案. 本题考查复数的基本概念,是基础题. 2.【答案】C 【解析】解:由题意,, 又,, 则复数的虚部为 故选: 由已知求得,代入,变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得,则答案可求. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.【答案】B 【解析】 【分析】 先利用复数的四则运算求出复数z,再利用复数模长公式求解. 本题考查复数的基本运算及复数的模,考查数学运算核心素养,是基础题. 【解答】 解:, 复数, 故选: 4.【答案】B 【解析】解:以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 则,,, 因为点M是棱的中点,点O是的中点, 所以,,, 所以 故选: 由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系,求得的坐标,可求OM的长. 本题考查求两点间的距离,属基础题. 5.【答案】D 【解析】解:的实部为4, 则,解得, ,当且仅当,即,时,等号成立, 故的最小值为 故选: 根据已知条件,结合复数的四则运算,以及虚部的定义,求出,再结合不等式公式,即可求解. 本题主要考查复数与不等式的综合,属于中档题. 6.【答案】D 【解析】解:是等腰直角三角形,且,, ,, 在中,设, 由余弦定理可得:, , 即, 解得,负值舍去 故 故选: 由已知可求,,在中,设,根据余弦定理即可求出. 本题考查了等腰直角三角形的性质和余弦定理,考查了运算求解能力,属于基础题. 7.【答案】B 【解析】解:,,, , ,即, 为直角三角形. 故选: 利用二倍角公式代入求得,进而利用余弦定理化简整理求得,根据勾股定理判断出三角形为直角三角形. 本题主要考查了三角形的形状判断.考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用. 8.【答案】C 【解析】解:对于A选项,若,则,由正弦定理可得,所以,,A选项正确; 对于B选项,,则,所以,有两解,B选项正确; 对于C选项,若为钝角三角形且C为钝角,则,可得,C选项错误; 对于D选项,由余弦定理与基本不等式可得, 即,当且仅当时,等号成立, 所以,,D选项正确. 故选: 利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误;利用正弦定理可判断B选项的正误;利用余弦定理可判断C选项的正误;利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误. 求三角形面积的最值是一种常见的类型,主要方法有两类:找到边与边之间的关系,利用基本不等式来求解;利用正弦定理,转化为关于某个角的三角函数,利用函数思想求解. 9.【答案】B 【解析】解:由,可得, 由余弦定理:, 所以:, 所以; 则 故选: 根据题意,利用余弦定理可得ab,再利用三角形面积计算公式即可得出答案. 本题考查余弦定理、三角形面积计算公式,关键是利用余弦定理求出ab的值,属基础题, 10.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查解三角形在平面几何中的应用,熟练掌握角分线定理、余弦定理是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题. 结合余弦定理和已知条件,可得,再利用余弦定理,即可得解C的值,由角分线定理知,在中,由余弦定理,可求得BC的长,进而知AC与的值,再在中,由余弦定理,得解. 【解答】 解:由余弦定理知, , ,即, 由余弦定理知,, , 由角分线定理知, 设,则, 在中,由余弦定理知,, ,解得, ,, , 在中,由余弦定理知,, 故选: 11.【答案】①② 【解析】解:棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形,故选项①正确; 由四个平面围成的封闭图形是四面体,也就是三棱锥,故选项②正确; 如图所示的四棱锥被扑灭截成的两部分都是棱锥,故选项③错误. 故答案为:①②. 利用棱台的结构特征判断选项①,由三棱锥的结构特征判断选项②,运用特殊例子判断选项③. 本题考查了空间几何体的结构特征,解题的关键是掌握常见空间几何体的定义以及结构特征,数据基础题. 12.【答案】 【解析】解:直观图中,, 中,, 由勾股定理可得 则AB边上的中线的实际长度为 故答案为: 由已知中直观图中线段的长,可分析出实际为一个直角边长分别为3,4的直角三角形,进而根据勾股定理求出斜边,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案. 本题考查的知识点是斜二测画法直观图,其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键. 13.【答案】或 【解析】解:若边长为3cm的边作为底边,则圆柱的底面积为; 若边长为4cm的边作为底边,则圆柱的底面积为 故答案为:或 由已知分类利用圆的面积公式求解. 本题考查旋转体的结构特征,考查圆面积的求法,是基础题. 14.【答案】 【解析】解:如图所示: 由题意知:,,,, 利用余弦定理:, 所以 故答案为: 直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果. 本题考查的知识要点:余弦定理,三角函数的值,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题. 15.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了空间四面体的表面积计算问题以及三角函数的相关性质,属于难题. 设,其余各棱长为2,求出四面体ABCD的表面积,利用三角函数求出的定义域和它的最大值. 【解答】 解:如图所示,四面体ABCD中,设,其余各棱长为2; 则、是正三角形, 在等腰三角形ACD中,,其中,所以,所以,解得; 因为,所以 所以四面体ABCD的表面积为 ,, 故当,即时,函数取得最大值为; 所以的定义域为,最大值为 故答案为:; 16.【答案】解:是纯虚数, ,解得 对应的点在第二象限, ,解得, 的取值范围为 【解析】本题考查了纯虚数的概念,以及复数的几何意义,属于基础题. 根据已知条件,根据纯虚数的概念即可求解. 根据复数z所在的象限,即可求解. 17.【答案】解:不成立, 在锐角中,,, , , ,这与为锐角三角形矛盾, , 由余弦定理可得 , 整理可得 解得,或, 当时,, 为钝角,与题意不符合, 【解析】本小题主要考查余弦定理等基础知识,考查运算求解能力及应用意识方法,属于基础题. 利用反证法,结合三角形的性质即可判断; 根据余弦定理即可求出. 18.【答案】解:,…2分 所以,…4分 ①若,则由正弦定理可得:,即, 因为C为三角形内角,,可得,因为,可得 ②若,由正弦定理可得:,由余弦定理可得,因为,可得 ③若,则,所以,可得,因为,可得…7分 由正弦定理可得, 所以,, 因为,所以,…8分 所以,…9分 因为,所以,, 所以,即的取值范围为…12分 【解析】利用平面向量数量积的运算,三角函数恒等变换的应用可求函数解析式,由已知可求a的值,若选①由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求,结合范围,可得若选②由正弦定理,余弦定理可得,结合范围,可得若选③利用余弦定理,三角形的面积公式,同角三角函数基本关系式可求,结合范围,可得,进而根据正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求,由,可求范围,进而根据正弦函数的性质可求其取值范围. 本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,正弦函数的性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 19.【答案】解:在中,,,, 由正弦定理有:,可得:
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