§8.1　空间几何体的结构、三视图和直观图 最新考纲 考情考向分析 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图． 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 空间几何体的结构特征、三视图、直观图是高考重点考查的内容．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主. 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 结构特征 ①有两个面互相 ，其余各面都是 ． ②每相邻两个四边形的公共边都互相 有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 和 之间的部分 侧棱 相交于 但不一定相等 延长线交于 侧面形状 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， 于底面 相交于 延长线交于 轴截面 全等的 全等的 全等的 侧面展开图 3.三视图与直观图 三视图 画法规则：长对正、高平齐、宽相等 直观图 斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 ． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段在直观图中长度为 . 概念方法微思考 1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？ 2．什么是三视图？怎样画三视图？ 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　 　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　 　) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．(　 　) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　 　) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　 　) (6)菱形的直观图仍是菱形．(　 　) 题组二　教材改编 2．[P19T2]下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号) 4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 5．(2019·荆州模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是(　　) 6．如图，直观图所表示的平面图形是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 题型一　空间几何体的结构特征 1．以下命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正确的命题为________．(填序号) 题型二　简单几何体的三视图 命题点1　已知几何体识别三视图 例1 (2018·全国Ⅲ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　) 命题点2　已知三视图，判断简单几何体的形状 例2 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例3 (2019·南平质检)图中网格的各小格是单位正方形，粗线构成的上下两个图形分别是正三棱锥与圆台组合体的正视图和俯视图，那么该组合体的侧视图的面积为(　　) A．6＋ B. C．6＋ D．8 跟踪训练1 (1)(2018·济南模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ (2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长棱的长度为(　　) A．3 B．2 C. D．2 题型三　空间几何体的直观图 例4 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________． 跟踪训练2 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　) A．2＋ B．1＋ C．4＋2 D．8＋4 1．(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是(　　) A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　) A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤ 3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 4．(2019·衡水金卷)某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是(　　) 5．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图为(　　) 6．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为(　　) A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 7．(2019·济南模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”．已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为(　　) A．18 B．18 C．18 D. 8．(2018·四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形 9.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________． 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________． 11．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 12．某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为________． 13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　　) 14．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为(　　) 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是(　　) A．圆弧 B．抛物线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 16.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.