2022-2023学年辽宁省辽阳市县穆家中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
参考答案：
A
取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
2. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. 已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．
【解答】解：集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，
N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，
则M∩N={1，2}．
故选：A．
4. 函数 的图象一定经过点（ ）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
5. 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
6. 如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
试题分析：，，
，故选A．
7. tan60°=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案．
【解答】解：tan60°=，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，难度不大，属于基础题．
8. 下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是 （ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
参考答案：
B
【考点】函数的值．
【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]?A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a的最大值．
【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，
∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，
∴（﹣∞，0]?A，
∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，
又h（0）=1，
∴实数a需要满足a≤0或，
解得a≤．
∴实数a的最大值为．
故选：B．
10. 函数的定义域为（ ）
A. [－3,+∞) B. (2,+∞) C. [－3,2)∪(2,+∞) D. (－∞,2)∪(2,+∞)
参考答案：
C
要使函数解析式 有意义，
，
且 ，
函数 的定义域为 ，故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，，，则a，b，c由小到大的顺序为 ．
参考答案：
c＜a＜b
【考点】不等关系与不等式；指数函数的图象与性质；对数值大小的比较．
【分析】由0＜sin，cos，tan＜1及幂函数、指数函数、对数函数的图象或性质即可比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵，∴0，即c＜0；
∵，∴0＜＜1，即0＜a＜1；
∵tan＞0，∴，即b＞1．
故c＜a＜b．
12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
参考答案：
1560
试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．
解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．
故答案为：1560．
点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
13. 已知为上的奇函数，则的值为
参考答案：
0
14. 若幂函数的图象过点，则__________.
参考答案：
略
15. 计算 .
参考答案：
16. 在锐角中，角的对边分别为.若，则角的大小为为____．
参考答案：
由，两边同除以得，由余弦定理可得是锐角，，故答案为.
17. 在△ABC中，已知A＝45°，AB＝，BC＝2，则C＝___________．
参考答案：
、30°
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）
已知,且是方程的两根.
（1）求的值. （2）求的值.
参考答案：
答案：（1）
（2） 由（1）得
由（2）得
略
19. 如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（II）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）由AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，得AF∥平面BCE．
（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥BC；再证BE⊥AC，即可得到AC⊥平面BCE．
（III∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角，在Rt△AFC中，求得二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值
【解答】解：（I）因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，
因为AD⊥DC所以四边形ADCM为矩形．所以AM=MB=2，又因为AD=2，AB=4所以AC=2，CM=2，BC=2
所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC；
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，
又因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE．
（III）∵FA⊥面ABCD，AC⊥BC，∴∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角，在Rt△AFC中，cos∠ACF=
二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值为
20. 在平面直角坐标系中，已知点和．
（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程．
（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
参考答案：
（）和．
（）另外一条对角线为，端点为和．
（）∵，，
，，
与直线垂直的直线斜率，，
整理得所求两条直线为和．
（）∵直线方程为：，
另外一条对角线斜率，
设中点为，则另一条对角线过点，
∴，整理得，
设另外两个端点坐标分别为，，
∵在直线上，
∴，①
且，
∴，②
联立①②解出或，
即另外两个端点为与．
21. 设等差数列{an}的前n项和Sn，且．
（1）求的值；
（2）求Sn取得最小值时，求n的值．
参考答案：
解：（1）法一：设的公差为，
由题，，解得，∴．
法二：由题，，∴，于是．
（2）法一：，当或时，取得最小值．
法二：，∴，
故当或时，取得最小值．
22. 如图，三个同样大小的正方形并排一行．
（Ⅰ）求与夹角的余弦值．
（Ⅱ）求∠BOD+∠COD．
参考答案：
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】设正方形的边长为1，可得，，，的坐标，（1）cos＜，＞=代入数据计算可得；（2）同理可得cos∠BOD，cos∠COD的值，由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值，可得cos（∠BOD+∠COD）的值，结合角的范围可得答案．
【解答】解：设正方形的边长为1，则A（1，1），B（2，1），C（3，1），D（3，0），
故=（1，1），=（2，1），=（3，1），=（3，0）
（1）可得cos＜，＞===，
（2）同理可得cos∠BOD===，
故可得sin∠BOD==，
cos∠COD===，sin∠COD=，
故cos（∠BOD+∠COD）==，
由角的范围可知∠BOD+∠COD=
【点评】本题考查数量积表示向量的夹角，涉及和差角三角函数，属中档题．