江西省九江市瑞昌高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图像大致为
参考答案:
B
为奇函数,舍去A,
舍去D;
,
所以舍去C;因此选B.
点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.
2. 已知函数的最小正周期为,将的图像向 左平移个单位长度,所得图像关于y轴对称,则的一个值是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 下列函数中在区间上为增函数,且其图像为轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 若如图1所示的程序框图输出的S是30,则在判断框中M表示的“条件”应该是
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
参考答案:
B
5. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B 解析:在恒成立,
6. 已知,设函数若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围为
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1, e]
参考答案:
C
∵,即,
(1)当时,,
当时,,
故当时,在上恒成立;
若上恒成立,即在上恒成立,
令,则,
当函数单增,当函数单减,
故,所以。当时,在上恒成立;
综上可知,的取值范围是,
故选C.
7. 已知函数,则的值为( )
A.9 B. C.-9 D.
参考答案:
B
8. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.K2 K4
D 解析:由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,共15组随机数,
∴所求概率为0.75.故选:D.
【思路点拨】由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组,可以通过列举得到共多少组随机数,根据概率公式,得到结果.
9. 设函数.若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
10. 若f(x)=,则f(x)的定义域为( )
A.(,0) B.(,0] C.(,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
A
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围,由此可以构造一个关于x的不等式,解不等式即可求出函数的解析式.
【解答】解:要使函数的解析式有意义
自变量x须满足:
即0<2x+1<1
解得
故选A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数 是定义在 上的可导函数,其导函数
为 ,且有 ,则不等式
的解集为_________.
参考答案:
略
12. 已知,则的值是__________.
参考答案:
略
13. 下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为 ;
的共轭复数为 的虚部为。
参考答案:
14. 已知点是的外接圆圆心,且.若存在非零实数,使得 ,且,则 .
参考答案:
【知识点】平面向量的基本定理及其意义.L4
【答案解析】 解析:如图所示,∵=x+y,且x+2y=1,
∴﹣=y(﹣2),∴=y(+),
取AC的中点D,则+=2,∴=2y,
又点O是△ABC的外心,∴BD⊥AC.在Rt△BAD中,cos∠BAC=.故答案为:,
【思路点拨】由=x+y,且x+2y=1,可得﹣=y(﹣2),利用向量的运算法则,取AC的中点D,则=2y,再利用点O是△ABC的外心,可得BD⊥AC.即可得出.
15. 的解集是
参考答案:
略
16. 已知实数a,b满足,则a+b最大值为 .
参考答案:
由得,由基本不等式得,则可发现,解得,所以a+b最大值为.
13. 如图,在中,已知点在边上,,, , 则的长为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x2+a.
(1)若是偶函数,在定义域上F(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,令g(x)=f(f(x))﹣λf(x),问是否存在实数λ,使g(x)在(﹣∞,﹣1)上是减函数,在(﹣1,0)上是增函数?如果存在,求出λ的值;如果不存在,请说明理由.
参考答案:
考点:
函数恒成立问题.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)把函数f(x)的解析式代入函数F(x)利用函数是偶函数求出b=0,把b=0代回函数F(x)的解析式,由F(x)≥ax恒成立分离出参数a,然后利用基本不等式求最值,则a的范围可求;
(2)把a=1代入函数f(x)的解析式,求出函数g(x)解析式,由偶函数的定义得到函数g(x)为定义域上的偶函数,把函数g(x)在(﹣∞,﹣1)上是减函数,在(﹣1,0)上是增函数转化为在区间(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数,换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴,由对称轴可求λ的值.
解答:
解:(1).
由F(x)是偶函数,∴F(﹣x)=F(x),即
∴﹣bx+1=bx+1,∴b=0.
即F(x)=x2+a+2,x∈R.
又F(x)≥ax恒成立,即x2+a+2≥ax恒成立,也就是a(x﹣1)≤x2+2恒成立.
当x=1时,a∈R
当x>1时,a(x﹣1)≤x2+2化为,
而,∴.
当x<1时,a(x﹣1)≤x2+2化为,
而,∴
综上:;
(2)存在实数λ=4,使g(x)在(﹣∞,﹣1)上是减函数,在(﹣1,0)上是增函数.
事实上,当a=1时,f(x)=x2+1.
g(x)=f(f(x))﹣λf(x)=(x2+1)2+1﹣λ(x2+1)=x4+(2﹣λ)x2+(2﹣λ).
∵g(﹣x)=(﹣x)4+(2﹣λ)(﹣x)2+(2﹣λ)=g(x)
∴g(x)是偶函数,要使g(x)在(﹣∞,﹣1)上是减函数,在(﹣1,0)上是增函数,
即g(x)只要满足在区间(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数即可.
令t=x2,当x∈(0,1)时t∈(0,1);x∈(1,+∞)时t∈(1,+∞),
由于x∈(0,+∞)时,t=x2是增函数,记g(x)=H(t)=t2+(2﹣λ)t+(2﹣λ),
故g(x)与H(t)在区间(0,+∞)上有相同的增减性,
当二次函数H(t)=t2+(2﹣λ)t+(2﹣λ)在区间(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数时,
其对称轴方程为t=1,
∴,解得λ=4.
点评:
本题考查了函数的性质,考查了函数的单调性与奇偶性的应用,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围,考查了二次函数的单调性.属难题.
19. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,A,B,C,D四点在同一个圆上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上。
(1)若,求的值;
(2)若,证明:.
参考答案:
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
(1)解:∵A,B,C,D四点共圆
∴∠EDC=∠EBF 又∵∠DEC=∠AEC ∴△ECD∽△EAB
∴== 又∵=,= ∴=………5分
(2)∵EF2=FA·FB ∴= 又∵∠EFA=∠BFE
∴△FAE∽△FEB ∴∠FEA=∠EBF
又∵A,B,C,D四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF
∴∠FEA=∠EDC ∴EF∥CD……………………………………………10分
20. (本小题满分16分)若数列满足:对于,都有(常数),则称数列是公差为的准等差数列.
(1)若求准等差数列的公差,并求的前项的和;
(2)设数列满足:,对于,都有.
①求证:为准等差数列,并求其通项公式;
②设数列的前项和为,试研究:是否存在实数,使得数列有连续的两
项都等于?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)数列
为奇数时,,
为偶数时,,
准等差数列的公差为,
;
(2)①()()
()
()-()得().
所以,为公差为2的准等差数列.
当为偶数时,,
当为奇数时,
解法一:;
解法二:;
解法三:先求为奇数时的,再用()求为偶数时的同样给分.
②解:当为偶数时,;
当为奇数时,
.
当为偶数时,,得.
由题意,有;
或.
所以,.
21. (14分)
已知f(x)=在区间[-1,1]上是增函数.
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解析:(Ⅰ)f'(x)=4+2 ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设(x)=x2-ax-2,
方法一:
① -1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
① 或
0≤a≤1 或 -1≤a≤0
-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由
∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
从而|x1-x2|==.
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+