山东省泰安市新泰第五中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则的值为 ……………………( )
A. 9 B.18 C.24 D.36
参考答案:
B
2. 在等比数列{an}中,首项a1=1,若数列{an}的前n项之积为Tn,且T5=1024,则该数列的公比的值为( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.±3
参考答案:
C
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵首项a1=1,T5=1024,
∴15×q1+2+3+4=1024,即q10=210,解得q=±2.
故选:C.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
3. 下列命题中错误的是( )
A. 如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B. 如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C. 如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
参考答案:
D
考点: 平面与平面垂直的性质.
专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑.
分析: 本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答时:A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答;B反证法即可获得解答;C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线,然后用线面垂直的判定定理即可获得解答;D结合实物举反例即可.
解答: 解:由题意可知:
A、结合实物:教室的门面与地面垂直,门面的上棱对应的直线就与地面平行,故此命题成立;
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β,根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立;
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线,再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行,进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行,又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面,故命题成立;
D、举反例:教室内侧墙面与地面垂直,而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题错误.
故选D.
点评: 本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思.
4. 在△ABC中,“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】在△ABC中,“A<B<C”?a<b<c,再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出.
【解答】解:在△ABC中,“A<B<C”?a<b<c?sinA<sinB<sinC?sin2A<sin2B<sin2C
?1﹣2sin2A>1﹣2sin2B>1﹣2sin2C?“cos2A>cos2B>cos2C”.
∴在△ABC中,“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件.
故选:C.
5. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
参考答案:
C
考点:互斥事件与对立事件.
专题:计算题;概率与统计.
分析:分析四组事件,①中表示的是同一个事件,②前者包含后者,④中两个事件都含有同一个事件,只有第三所包含的事件是对立事件.
解答: 解:∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中,这两个事件是同一个事件,
在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中,至少有一个是奇数包括两个都是奇数,
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中,至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数,同两个都是偶数是对立事件,
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中,都包含一奇数和一个偶数的结果,
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选:C
点评:分清互斥事件和对立事件之间的关系,互斥事件是不可能同时发生的事件,对立事件是指一个不发生,另一个一定发生的事件.
6. 存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( )
A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|
参考答案:
D
【详解】A:取,可知,即,再取,可知
,即,矛盾,∴A错误;同理可知B错误,C:取,可知
,再取,可知,矛盾,∴C错误,D:令,
∴,符合题意,故选D.
考点:函数的概念
7. 已知全集,集合,,则B
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8.
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
知识点:诱导公式
解析:
故答案为:C
9. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,则这个几何体的俯视图一定不是( )
参考答案:
B
略
10. 已知函数f(x)=sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(+)?(﹣)的值为( )
A.﹣1 B. C. D.2
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】可求出f(x)的周期为2,从而得出,根据正弦函数的对称性可知,点C为DE的中点,从而,并且,代入进行数量积的运算即可.
【解答】解:f(x)=sin(πx+φ)的周期为2;
∴;
D,E关于点C对称;
∴C是线段DE的中点;
∴
=
=
=2.
故选D.
【点评】考查三角函数周期的计算公式,正弦函数的对称中心,以及向量加法的平行四边形法则,向量加法的几何意义.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 复数的虚部是 .
参考答案:
【考点】A2:复数的基本概念.
【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简复数为a+bi的形式,即可求出复数的虚部.
【解答】解:复数===﹣+i.
复数的虚部为:;
故答案为:.
12. 若角的终边过点,则____.
参考答案:
【考点】三角函数的定义。
解析:角的终边过点,所以,,,答案:
13. 已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为 .
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;古典概型及其概率计算公式.
【分析】f′(x)=x2+2ax+b2,要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根,由此能求出该函数有两个极值点的概率.
【解答】解:∵f(x)=x3+ax2+b2x+1,
∴f′(x)=x2+2ax+b2,
要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根,
即△=4(a2﹣b2)>0,即a>b,
又a,b的取法共3×3=9种,
其中满足a>b的有(1,0),(2,0),(2,1),
(3,0),(3,1),(3,2)共6种,
故所求的概率为P=.
故答案为:.
【点评】本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用.
1.不等式<0的解为 .
参考答案:
15. 若对任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为 .
参考答案:
4
16. 已知的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用两角差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.
【解答】解:∵已知=tan[(α+β)﹣α]= = =﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用,属于基础题.
17. 已知数列中,,对于任意,,若对于任意正整数,在数列中恰有个出现,求=▲ .
参考答案:
9
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在合作学习小组的一次活动中,甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A、B、C、D四项不同的任务,每个同学只能承担一项任务.
(1)若每项任务至少安排一位同学承担,求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率;
(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量,求的分布列及数学期望.
参考答案:
(1)(2)见解析
【分析】
(1)先算出每项任务至少安排一位同学承担,共有种安排方法,考虑甲、乙两人同时承担同一项任务,共有种安排方法,用去杂法可求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率.
(2),利用二项分布可求分布列及数学期望.
【详解】(1)设为“甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率”,
;
(2)
每一位同学承担任务的概率为,不承担任务的概率为
,,
,,
,,
所以.
【点睛】古典概型的概率的计算,关键时基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算,计算时应利用排列组合的方法来考虑,另外,随机变量的分布列应该借助于常见分布来计算概率.
19. 已知数列满足,且对任意都有
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设证明:是等差数列;
(Ⅲ)设,求数列的前项和.
参考答案:
解:(1)由题意,令m=2,n=1,可得a3=2a2-a1+2=6
再令m=3,n=1,可得a5=2a3-a1+8=20………………………………3分
(2)当n∈N *时,由已知(以n+2代替m)可得
a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8w
即 bn+1-bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………8分
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列
则bn=8n-2,即a2n+=1-a2n-1=8n-2
另由已知(令m=1)可得
an=-(n-1)2.
那么an+1-an=-2n+1
=-2n+1
=2n
于是cn=2nqn-1.
当q=1时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1)
当q≠1时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn-1.
两边同乘以q,可得
qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn.
上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn-1)-2nqn
=2·-2nqn
=2·
所以Sn=2·
综上所述,Sn=…………………………15分
20. (13分)已知左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0)的椭圆C:(a>b>0)过点(,),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(I)求椭圆C的离心率和标准方程.