2022年江苏省宿迁市魏营中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知x+y=3,则Z=2x+2y的最小值是( )
A.8 B.6 C. D.
参考答案:
D
【考点】基本不等式.
【分析】由题意可得Z=2x+2y≥2=2=4,验证等号成立的条件即可.
【解答】解:∵x+y=3,∴Z=2x+2y
≥2=2=4
当且仅当2x=2y即x=y=时取等号,
故选:D
2. 已知集合,,则S∩T=( )
A. (-9,5) B. (-∞,5) C. (-9,0) D. (0,5)
参考答案:
D
【分析】
先化简集合S、T,再求得解.
【详解】由题得,
所以.
故选:D
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3. 若直线ax+by=1与圆 相交,则P(a,b)的位置上( )
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D.以上都有可能
参考答案:
B
4. 已知函数f(x)=cosx﹣sinx,f′(x)为函数f(x)的导函数,那么等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:导数的运算.
专题:导数的概念及应用.
分析:根据导数的运算法则求导,再代值计算即可.
解答: 解:f′(x)=﹣sinx﹣cosx,
∴f′()=﹣sin﹣cos=﹣,
故选:C.
点评:本题考查了导数的运算法则和导数的基本公式,属于基础题.
5.
参考答案:
D
略
6. 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
参考答案:
B
【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【分析】由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%),即可得出结论.
【解答】解:由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,
所以P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%)=13.59%.
故选:B.
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.
7. 三棱柱中,是的中点,若,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 在平面直角坐标系中,已知点P(3,0)在圆C:(x﹣m)2+(y﹣2)2=40内,动直线AB过点P,且交圆C于A,B两点,若△ABC面积的最大值为20,则实数m的取值范围是( )
A.﹣3<m≤﹣1或7≤m<9 B.﹣3≤m≤﹣1或7≤m≤9
C.﹣3<m<﹣1或7<m<9 D.﹣3<m<﹣1或7≤m<9
参考答案:
A
【考点】J9:直线与圆的位置关系.
【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径,利用三角形面积的最大值,确定直线的位置,利用直线和方程的位置关系即可得到结论.
【解答】解:圆C:(x﹣m)2+(y﹣2)2=40,圆心C(m,2),半径r=2,
S△ABC=r2sin∠ACB=20sin∠ACB,
∴当∠ACB=90时S取最大值20,
此时△ABC为等腰直角三角形,AB=r=4,
则C到AB距离=2,∴2≤PC<2,
即2≤,
∴20≤(m﹣3)2+4<40,即16≤(m﹣3)2<36,
∴﹣3<m≤﹣1或7≤m<9,
故选:A
9. 已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β B.若m∥n,m?α,n?β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,则n∥α D.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
参考答案:
D
10. 函数f(x)的导函数,满足关系式,则的值为( )
A. 6 B. -6 C. D.
参考答案:
D
【分析】
求导,令,即可得出答案.
【详解】
,解得
故选:D
【点睛】本题主要考查了求某点处的导数值,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为 .
参考答案:
12. 设,利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法,可求得 . 的值为: .
参考答案:
11.
略
13. 设Sn为数列{an}的前项和,已知a1≠0,2an﹣a1=S1?Sn,则数列{nan}的前n项和为 .
参考答案:
(n﹣1)×2n+1.n∈N+
【考点】数列的求和.
【分析】利用递推式与等比数列的通项公式可得an;利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出.
【解答】解:∵a1≠0,2an﹣a1=S1?Sn,n∈N*.
令n=1得a1=1,令n=2得a2=2.
当n≥2时,由2an﹣1=Sn,2an﹣1﹣1=Sn﹣1,两式相减得an=2an﹣1,
又a1≠0,则an≠0,
于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴通项公式an=2n﹣1;
∴nan=n?2n﹣1,
Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1,
2Tn=2+2×22+3×23+…+(n﹣1)×2n﹣1+n×2n,
∴﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=(1﹣n)×2n﹣1,
∴Tn=(n﹣1)×2n+1.n∈N+.
故答案是:(n﹣1)×2n+1.n∈N+.
14. 已知及,则 .
参考答案:
15. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是 ▲
参考答案:
16. 将正方形沿对角线折成直二面角,有如下四个结论:
① ②是等边三角形
③与平面成的角 ④与所成的角为
其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) w.
参考答案:
①②④
17. 已知正项等比数列满足,若存在两项使得,
则的最小值为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知函数.
(I)若,求函数的单调区间;
(II) 若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率
恒成立,求实数的最小值.
参考答案:
(I)当时,,定义域为,
---------------------------------3分
当时,,当时,
∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). -------------5分
12
19. (本题满分12分)
如图,已知四棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,四边形是菱形,,是的中点,是的中点.
(Ⅰ)求证:平面.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案:
证明(Ⅰ)取的中点,连接.
由题意知且,且,
所以且,即四边形是平行四边形,所以,
又平面,平面
所以平面.
(Ⅱ)以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,,则
,
平面的法向量,设是平面的法向量,
由,令,
得
又二面角的平面角是锐角,
所以二面角的平面角的余弦值是
20. 极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值
参考答案:
略
21. (本小题满分10分)已知的三个内角,,成等差数列且所对的边分别为,,.
(1)求;
(2)若,求当取最大值时,,的值.
参考答案:
(1),,成等差数列
……………2分
……………4分
(2)且 ……………6分
是有最大值2,即 ……………8分
此时为等边三角形,即 ……………10分
22. 设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
略