山西省朔州市向阳堡中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,已知 a,b , ,用a,b表示,则( )
A.ab B.ab
C.ab D.ab
参考答案:
C
2. 锐角三角形的面积等于底乘高的一半;直角三角形的面积等于底乘高的一半;钝角三角形的面积等于底乘高的一半;所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半.以上推理运用的推理规则是 ( )
A.三段论推理 B.假言推理 C.关系推理 D.完全归纳推理
参考答案:
D
3. 若曲线在点处的切线方程是,则( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
4. 在中,,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 已知z为复数,(1﹣i)2z=(1+i)3(i为虚数单位),则=( )
A.1+i B.﹣1+i C.1﹣i D.﹣1﹣i
参考答案:
B
考点:复数代数形式的乘除运算.
专题:函数思想;数系的扩充和复数.
分析:设z=a+bi,利用向量相等,列出方程组,求出a、b的值即可.
解答: 解:设z=a+bi,a、b∈R,
∴(1﹣i)2(a+bi)=(1+i)3,
即﹣2i(a+bi)=2i(1+i),
∴﹣a﹣bi=1+i,
即,
解得a=﹣1,b=﹣1,
∴z=﹣1﹣i,
∴=﹣1+i.
故选:B.
点评:本题考查了复数的共轭复数以及复数相等的应用问题,也考查了复数的代数运算问题,是基础题目.
6. 根据如图框图,当输入x为6时,输出的y=( )
A.1 B.2 C.5 D.10
参考答案:
D
【考点】循环结构.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=﹣3时不满足条件x≥0,计算并输出y的值为10.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
x=6
x=3
满足条件x≥0,x=0
满足条件x≥0,x=﹣3
不满足条件x≥0,y=10
输出y的值为10.
故选:D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键,属于基础题.
7. 已知等差数列的公差和首项都不等于0,且,,成等比数列,则( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
参考答案:
A
8. 不等式的解集非空, 则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
本题是常规题,有多种解法,关键在灵活选用方法,考查学生的理性思维,是现代高考的重要趋势。
法1. 数形结合法. 运用零点分段法作出函数图像求解,比较麻烦。
法2. 检验法 .令a=3时,x=0满足条件,答案中应包含a=3,排除A、D,再令a=5时,x=0也满足条件,故排除C,答案为B。
法3. 运用基本结论,由已知选B。
9. 下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏是( )
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和一个白球
一个黑球和一个白球
2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球
取1个球
取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
A.游戏1和游戏3 B.游戏1 C.游戏3 D.游戏2
参考答案:
C
略
10. 将八位数135(8)化为二进制数为( )
A 1110101(2) B1010101(2) C 1011101(2) D 1111001(2)
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在上定义运算:,若不等式对任意实数都成立,则的取值范围是___________________________。
参考答案:
12. 为真命题,则a的取值范围是____▲______.
参考答案:
13. 求函数的单调递增区间为________________
参考答案:
14. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,,,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_________.
参考答案:
分析:以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间坐标系,求出,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解:
如图,为坐标原点,为轴,为轴,
为轴建立空间坐标系,
,
,
,
设异面直线与成角为,
,故答案为.
点睛:本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”,属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解.
15. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆柱的表面积为 .
参考答案:
6π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【分析】由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2,高为2.
【解答】解:∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形,
∴圆柱底面圆的直径长为2,高为2.
则圆柱的表面积S=2?π?2+2?π?12=6π.
故答案为6π.
16. 若直线过圆的圆心,则a的值为 .
参考答案:
1
17. 比较大小:
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)电视台与某企业签订了播放两套连续剧的合作合同.约定每集电视连续剧播出后,另外播出2分钟广告.已知连续剧甲每集播放80分钟,收视观众为60万,连续剧乙每集播放40分钟,收视观众为20万,根据合同,要求电视台每周至少播放12分钟广告,而电视剧播放时间每周不多于320分钟,设每周播放甲乙两套电视剧分别为x集、y集.
(Ⅰ)用x,y列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)电视台每周应播映两套连续剧各多少集,才能使收视观众最多,最高收视观众有多少万人?
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(I)根据广告和连续剧的播放时间列不等式组即可;
(II)利用简单线性规划知识求出观众人数的最值.
【解答】解:(I)x,y列出满足条件的数学关系式为:,即.
相应的平面区域为:
(II)设每周收视观众为z万人,则z=60x+20y,
∴y=﹣3x+,
∴直线y=﹣3x+经过点A时,截距最大,
解方程组,得A(2,4),
∴z的最大值为60×2+20×4=200.
∴每周播放连续剧甲2集,连续剧乙4集收视观众最多,最高收视观众为200万人.
19. 已知函数.
(1)若函数f(x)的最小值为2,求实数a的值;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1) 或. (2)[-1,2]
【分析】
(1)利用绝对值不等式可得.
(2)不等式在上恒成立等价于在上恒成立,故的解集是的子集,据此可求的取值范围.
【详解】解:(1)因为,
所以.
令,得或,解得或.
(2)当时,.
由,得,即,即.
据题意,,则,解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】(1)绝对值不等式指:及,我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
(2)解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等,利用公式法时注意不等号的方向,利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择,利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负,而利用图像法求解时注意图像的正确刻画.
20. 设抛物线的焦点为,准线为,点A在抛物线上,已知以为圆心、为半径的圆交于B、D两点.
(1)若,求的面积;
(2)若A、B、F三点在同一条直线上,求直线的方程.
参考答案:
略
21. 已知数列的前n项和为,且.
(Ⅰ)求数列通项公式;
(Ⅱ)若,,求证数列是等比数列,并求数列的前项和.
参考答案:
略
22. (1)已知复数当实数取什么值时,复数是:
(1)零;(2)纯虚数; (3)
(2)设复数满足,且是纯虚数,求.
参考答案:
解:(1)m=1;(2)m=0;(3)m=2
(2)设复数满足,且是纯虚数,求.
解:
略