浙江省金华市东阳南马中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形1的面积介于与之间的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
B
2. 点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（ ）
A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.射线
参考答案：
D
圆的标准方程为，
如图所示，设圆心坐标为，满足题意的点为点，由题意有：
，则，
设，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线.
本题选择D选项.
3. 已知球的内接正方体棱长为1，则球的表面积为
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
4. 函数的定义域是（ ）．
（A）（0，2） （B）[0，2] （C） （D）
参考答案：
D
略
5. 先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 已知数列,3,,…,,那么9是数列的 ( )
A。. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项
参考答案：
C
7. 如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为( )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)7
参考答案：
B
略
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A.6
B.9
C.12
D.18
参考答案：
B
略
9. △ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为( )
A． B． C．1 D．
参考答案：
A
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，
∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，
又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴2ab﹣4=﹣ab，
∴ab=．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．
10. 曲线围成的封闭图形的面积为 （ ）
A.10 B.8 C. 2 D.13
参考答案：
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．
参考答案：
∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立，
∴f(x)在R上是增函数．
又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．
由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，
∴mx－2<－x，即mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立．
记g(m)＝xm－2＋x，
12. 某地区有荒山2200亩,从2009年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100
亩,以后每年比上一年多植树50亩.如图,某同学设计了一个程序框图计算到哪一年可以将荒山全部绿化(假定所植树全部成活),则程序框图中A处应填上____________.
参考答案：
略
13. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是 ．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用余弦定理，结合c2=（a﹣b）2+6，C=，求出ab=6，利用S△ABC=absinC，求出△ABC的面积．
【解答】解：由c2=（a﹣b）2+6，可得c2=a2+b2﹣2ab+6，
由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+b2﹣ab，
所以：a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab，
所以ab=6；
所以S△ABC=absinC=×6×=．
故答案为：．
14. 采用系统抽样方法，从121人中先去掉一个人，再从剩下的人中抽取一个容量为12的样本，则每人被抽取到的概率为__________．
参考答案：
略
15. 已知中，角，,所对的边分别为，，，外接圆半径是,且满足条件,则的面积的最大值为 .
参考答案：
由正弦定理，则，带入题中条件得，化简得，由余弦定理解得.
又，即（基本不等式）
.
16. 用秦九韶算法求多项式当时的值的过程中：
， ．
参考答案：
52
17. 正方体各面所在平面将空间分成 部分。
参考答案：
27
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若且，解不等式：
参考答案：
解析：若，两边取以为底的对数
若，同样有，
又
当时不等式的解为
当时不等式的解为
19. 已知函数
（1）若为的极值点，求的值；
（2）若的图象在点（1，）处的切线方程为，求在区间[-2，4]上的最大值
参考答案：
（1）或---------------------------3分
（2）--------------------6分
-----------10分
，最大值为8----------------------------12分
略
20. 在矩形ABCD中，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B的坐标为（3，2），E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．
（1）求证：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）根据题意可知A，B，C，F的坐标，进而求得AC和BF的直线方程，联立求得焦点G的坐标，进而求得EG，BF的斜率，根据二者的乘积为﹣1判断出EG⊥BF；
（2）求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程．
【解答】（1）证明：由题意，A（3，0），B（3，2），C（﹣3，2），F（﹣1，0）．
所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y﹣3=0，x﹣2y+1=0，
由，解得x=，y=，
所以G点的坐标为（，）．
所以kEG=﹣2，KBF=，
因为kEG?kBF=﹣1，所以EG⊥BF，
（2）解：⊙H的圆心为BE中点H（2，1），
半径为BH=，
所以⊙H方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．
【点评】本题主要考查了直线与直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
21. （本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差（°C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
参考答案：
解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
所以 ．…………3分
答：略． ………4分
（2）由数据，求得
由公式，求得，． …6分
所以y关于x的线性回归方程为． …………8分
（3）当x=10时，，|22－23|＜2；……10分
同样，当x=8时，，|17－16|＜2．…………11分
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．…………12分
略
22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设点，直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．
参考答案：
（Ⅰ），；（Ⅱ）9.
【分析】
（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；
（Ⅱ）由题意，把直线l的参数方程可化为 (为参数)，代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的几何意义，即可求解．
【详解】（Ⅰ）由，得，
又由 ，
得曲线C的直角坐标方程为，即 ，
由，消去参数t，得直线l的普通方程为.
（Ⅱ）由题意直线l的参数方程可化为 (为参数)，
代入曲线的直角坐标方程得.
由韦达定理，得，则.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．