2022年江西省吉安市新余第十三中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数的共轭复数是( )
A. B. C.﹣i D.i
参考答案:
C
【考点】A7:复数代数形式的混合运算.
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为a+bi(a,b∈R)的形式,然后求出共轭复数,即可.
【解答】解:复数===i,它的共轭复数为:﹣i.
故选C
2. 已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
参考答案:
B
【考点】等比数列的性质.
【分析】由题意和等比数列的通项得a1q2=2,a1q3a1q5=16,求出q2,即可得出结论..
【解答】解:设等比数列{an}的公比是q,
由a3=2,a4a6=16得,a1q2=2,a1q3a1q5=16,
则a1=1,q2=2,
∴==4,
故选:B.
3. 如图是一个算法的流程图,则输出K的值是( )
A. 6 B. 7 C. 16 D. 19
参考答案:
D
4. 复数的模长为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
考点:复数求模.
专题:计算题.
分析:通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.
解答: 解:复数,
所以===.
故选B.
点评:本题考查复数的模的求法,考查计算能力.
5. 设满足约束条件,则的最小值是( )
A.-15 B.-9 C.1 D.9
参考答案:
A
画出可行域,令 画出直线,平移直线,由于,直线的截距最小时最小,得出最优解为,,选A.
6. 设函数,则下列结论正确的个数是( )
①为的一个周期;
②的图像关于直线对称;
③的一个零点为;
④的最大值为2.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
C
【分析】
将函数整理为:;求出最小正周期为,可知是周期,①正确;当时,函数取最小值,②正确;当时,,③正确;函数最大值为,④错误,由此可得结果.
【详解】
的最小正周期为:,是的周期,①正确;
当时,,为最小值,的图象关于直线对称,②正确;
当时,,的一个零点为,③正确;
由于的最大值为,故④错误.
本题正确选项:
【点睛】本题考查三角函数有关命题的判断,涉及到周期、对称轴、零点、最值的判断,综合考查三角函数部分的知识掌握情况.
7. 已知函数f (x)=,若f (x)在(-∞, +∞)上是增函数,则实数a的取值范围是
A、 B、{a|a≥2} C、 D、{a|a=2}
参考答案:
A
8. 双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 在△ABC中,若,则B等于( )
A. 30°或60° B. 45°或60° C. 60°或120° D. 30°或150°
参考答案:
D
【分析】
利用正弦定理直接计算得到答案.
【详解】在中,若
根据正弦定理:
或
故答案选D
【点睛】本题考查了正弦定理,属于简单题.
10. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中2人都是女同学的概率为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
参考答案:
A
【分析】
设2名男生为,名女生为,列举出所有的基本事件和选中2人都是女同学的基本事件,由基本事件数之比即可求得概率.
【详解】设名男生为,名女生为,则任选人的选法有:
,共种,
其中全是女生的选法有:,共种.
故选中的2人都是女同学的概率.
故选A.
【点睛】本题考查古典概型求概率的问题,采用列举法,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在下列命题中
(1)且是的充要条件;
(2)命题“若,则”的逆命题与逆否命题;
(3)命题“若,则”的否命题与逆否命题;
(4),使。
是真命题的序号为: .
参考答案:
(4)
12. 凸函数的性质定理为:如果函数在区间上是凸函数,则对于区间内的任意,有,已知函数在区间上是凸函数,则在中,的最大值为________.
参考答案:
13. ΔABC中, a = 1, b =, ∠A=30°,则∠B等于 。
参考答案:
略
14. 某学习小组进行课外研究性学习,为了测量不能到达的A、B两地,他们测得C、D两地的直线距离为,并用仪器测得相关角度大小如图所示,则A、B两地的距离大约等于
(提供数据:,结果保留两个有效数字)
参考答案:
1.4
15. 设直线与曲线的图像分别交于点,则的最小值为
参考答案:
2
16. “”是“”的 条件.
参考答案:
充分不必要
略
17. 已知f(x)在(0,3)上单调递减,且y=f(x+3)是偶函数,则不等式组所表示的平面区域的面积为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 甲乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率。
参考答案:
(1)0.72,(2)0.26.(3)0.98.
分析:(1)只需将两人射中的概率相乘即可,(2)恰有一人射中则包括甲击中、乙未击中和甲未击中、乙击中,分别求出对应的概率再相加即可,(3)可根据对立事件先将两人都不射中的概率求出,在用1减去两人都不中的情况即得结论.
详解:记“甲射击1次,击中目标”为事件,“乙射击1次,击中目标”为事件,则与,与,与,与为相互独立事件,
(1)2人都射中的概率为:
,
∴2人都射中目标的概率是0.72.
(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件发生)根据题意,事件与互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为:
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.
(3)(法1):2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为.
(法2):“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,
2个都未击中目标的概率是,
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为.
点睛:考查独立事件的概率乘法公式,以及互斥事件的概率加法公式,所求事假与对立事件的概率关系,属于基础题.
19. 在平面直角坐标系中,点A(0,3),直线,设圆C的半径为1,圆心在上.
(1)若圆心C也在直线上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
参考答案:
解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为
∴圆的方程为:
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为:或者即或者 .6分
(2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆的方程为:
又∵∴设M为(x,y)则整理得:设为圆D ∴点M应该既在圆C上又在圆D上
即:圆C和圆D有交点∴
由得 由得
终上所述,的取值范围为: .6分
20. 新华学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展.新华高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为________.
参考答案:
略
21. 若,且.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)2
【分析】
(Ⅰ)解法1:将展开,找出项的系数表达式,结合条件列方程求出的值;
解法2:利用二项式定理写出的通项,令的指数为,列方程求出参数的值,再将参数代入通项得出的系数的表达式,结合条件列方程求出实数的值;
(Ⅱ)解法1:令代入题干等式求出的值,再令可得出的值,减去可得出,再乘以可得出答案;
解法2:利用二项式定理求出、、、、、、的值,代入代数式可得出答案。
【详解】(Ⅰ)解法1:因为,所以,
解法2:,,
所以。
(Ⅱ)解法1:当时,,当时,,
,;
解法2:由二项展开式分别算出,
代入得:。
【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查二项式指定项的系数问题,考查项的系数和问题,一般利用赋值法来求解,考查计算能力,属于中等题。
22. 在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.
参考答案:
略