2022-2023学年山东省淄博市鲁中艺术学校高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y = x (x∈(0,+∞)) B.y = 3x (x∈R)
C.y = x (x∈R) D.y = lg|x| (x≠0)
参考答案:
C
2. 已知△ABC是边长为2a的正三角形,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
参考答案:
C
3. 三个数50.4 ,0.45 ,log0.45的大小顺序是 ( )
A.0.45<log0.45<50.4 B. 0.45<50.4<log0.45
C. log0.45<50.4<0.45 D. log0.45<0.45<50.4
参考答案:
D
略
4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积( )
A. 168 B. 180
C. 200 D. 220
参考答案:
B
略
5. 根据表格中的数据,可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为( )
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理;函数的零点与方程根的关系.
【专题】计算题.
【分析】令f(x)=ex﹣x﹣2,方程ex﹣x﹣2=0的根即函数f(x)=ex﹣x﹣2的零点,由f(1)<0,f(2)>0知,
方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为 (1,2).
【解答】解:令f(x)=ex﹣x﹣2,由图表知,f(1)=2.72﹣3=﹣0.28<0,f(2)=7.39﹣4=3.39>0,
方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为 (1,2),
故选 C.
【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点,以及函数在一个区间上存在零点的条件.
6. 已知函数的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是( )
参考答案:
C
7. (5分)已知△ABC是边长为2的正三角形,则?的值为()
A. 2 B. ﹣2 C. 2 D. ﹣2
参考答案:
B
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: 运用向量的数量积的定义,结合正三角形的定义,注意向量的夹角为π﹣B,计算即可得到所求值.
解答: 由于△ABC是边长为2的正三角形,
则?=||?||?cos(π﹣B)=﹣2×2×cos60°
=﹣4×=﹣2.
故选B.
点评: 本题考查向量的数量积的定义,注意向量夹角的定义是解题的关键.
8. 函数f(x)=loga(x+2)(a>0,a≠1)的图象必过定点( )
A.(﹣1,1) B.(1,2) C.(﹣1,0) D.(1,1)
参考答案:
C
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【分析】本题研究对数型函数的图象过定点问题,由对数定义知,函数y=logax图象过定点(1,0),故可令x+2=1求此对数型函数图象过的定点.
【解答】解:由对数函数的定义,
令x+2=1,此时y=0,
解得x=﹣1,
故函数y=loga(x+2)的图象恒过定点(﹣1,0)
故选:C.
9. 已知,则的最小值为( )
A 8 B 6 C D
参考答案:
C
10. 若,则下列不等式关系中不一定成立的是( )
(A)(B)(C)(D)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 当x[-1,1]时,函数f(x)=3x-2的值域为
参考答案:
12. 已知直线l:2x﹣y+1=0与圆(x﹣2)2+y2=r2相切,则r等于 .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径,可得=r,由此求得r的值.
【解答】解:根据圆心(2,0)到直线l:2x﹣y+1=0的距离等于半径,可得=r,求得r=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
13. 在△ABC中,已知D是BC上的点,且CD=2BD.设=, =,则= .(用a,b表示)
参考答案:
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】根据D是BC上的点,且CD=2BD,得到,结合向量减法的三角形法则,得到,化简整理可得,代入已知条件即得本题的答案.
【解答】解:∵D是BC上的点,且CD=2BD,
∴
∵,,
∴,
整理,得
结合题意=, =,可得=
故答案为:
14. 中,,,则 .
参考答案:
略
15. 已知为锐角,且, 则_______.
参考答案:
16. 在中,三个内角A,B,C所对的边分别是,已知的面积等于则
参考答案:
4
17. 已知Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=2n﹣1,则a1= _________ .
参考答案:
8
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15~65岁的人群抽取了n人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示.
(1)分别求出a,b,x,y的值;
(2)从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人?
(3)在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率.
参考答案:
(1)0.9,0.36,270,90;(2)2人,3人,1人,1人;(3).
【分析】
(1)先计算出总人数为1000人,再根据公式依次计算的值.
(2)根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人
(3)排出所有可能和满足条件情况,得到概率.
【详解】(1)依题和图表:
由得:,
由得:,
由得:,
由得:,
由得:,
故所求,,,.
(2)由以上知:第二、三、四、五组回答正确的人数分别为:180人,270人,90人,90人
用分层抽样抽取7人,则:
从第二组回答正确的人中应该抽取: 人,
从第三组回答正确的人中应该抽取:人,
从第四组回答正确的人中应该抽取: 人,
从第五组回答正确的人中应该抽取: 人,
故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人;
(3)设从第二组回答正确的人抽取的2人为: ,
从第三组回答正确的人抽取的3人为:
从第四组回答正确的人抽取的1人为:
从第五组回答正确的人抽取的1人为:
随机抽取2人,所有可能的结果有: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21个基本事件,其中第二组至少有1人被抽中的有:,,,,,,,,,,共这11个基本事件.
故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为:.
【点睛】本题考查了频率直方图,分层抽样,概率的计算,意在考查学生的应用能力和计算能力.
19. (12分)(1)求的值.
(2)若,,,求的值.
(1)
参考答案:
原式
(2)
①
②
①-②得 ,
略
20. (本小题满分12分)已知集合,
(1)若,求实数的取值范围
(2)当取使不等式对任意恒成立的最小值时,求
参考答案:
21. 已知,.
(1)当a=1时,求A∩B和A∪B;
(2)若,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)时,,
故,.
(2)当时,,则;
当时,,则,由,
得或解得或,
综上可知,a的取值范围是.
22. 已知两直线,求分别满足下列条件的、的值.(本小题满分10分)
(1)直线过点,并且直线与直线垂直;
(2)直线与直线平行,并且坐标原点到、的距离相等.
参考答案:
略