广西壮族自治区南宁市新明中学2022-2023学年高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知,则
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
设等差数列的公差为,由题意列出方程组,求得的值,进而利用公式,求得,即可得到答案.
【详解】设等差数列的公差为,
由,可得,解得,
所以,,
故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用,其中解答中根据题意求得得出数列的首项和公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2. 函数在上取得最小值,则实数的集合是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 定义在(0,+∞)上的函数满足:且,则不等式的解集为( )
A. (2,+∞) B.(0,2) C. (0,4) D.(4, +∞)
参考答案:
B
4. 在△ABC中, =, =.若点D满足=( )
A. + B. C. D.
参考答案:
A
【分析】由向量的运算法则,结合题意可得═=,代入已知化简可得.
【解答】解:由题意可得=
==
==
故选A
5. 函数f(x)=M sin (ωx+φ),(ω>0) 在区间 [ a , b ] 上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=M cos (ωx+φ) 在 [ a , b ] 上( )
A.增函数 B.是减函数 C.可以取最大值M D.可以取最小值-M
参考答案:
C
6. 已知两直线m、n,两平面α、β,且.下面有四个命题( )
(1)若; (2);
(3; (4).
其中正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
7. 设向量 , , ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:
考点:向量坐标运算
8. 函数的值域是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin(2x﹣) B.y=2sin(2x﹣) C.y=2sin(x+) D.y=2sin(x+)
参考答案:
A
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据已知中的函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的A,ω,φ值,可得答案.
【解答】解:由图可得:函数的最大值为2,最小值为﹣2,故A=2,
=,故T=π,ω=2,
故y=2sin(2x+φ),
将(,2)代入可得:2sin(+φ)=2,
则φ=﹣满足要求,
故y=2sin(2x﹣),
故选:A.
10. 已知函数是R上的增函数,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
参考答案:
D。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域是______.
参考答案:
(0,2]
12. 已知函数,若f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是▲.
参考答案:
13. 给出下列四个函数:① ,②,③ ,
④,若的零点与的零点之差的绝对值不超过,则符合条件的函数的序号是 。
参考答案:
②④
14. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间[40,80]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.
参考答案:
80
时速在区间内的汽车有
15. 已知α∈(0,),β∈(0,),且满足cos2+sin2=,sin=cos(﹣β),则α+β= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】根据二倍角公式和诱导公式,得到cosα+cosβ=0,①,sinα=sinβ,②,求出cos2α=,cos2β=,继而求出α=,β=,问题得以解决.
【解答】解∵∵cos2+sin2=,
∴(1+cosα)+(1﹣cosβ)=+,
∴cosα+cosβ=0,①
∵sin=cos(﹣β),
∴sinα=sinβ,②,
由①②,解得cos2α=,cos2β=,
∵α∈(0,),β∈(0,),
∴α=,β=,
∴α+β=,
故答案为:
16. 给出下列角的范围:①(0,);②(,π);③(,);④(-,);⑤(-,).当x∈____________(填序号),函数y==2cosx.
参考答案:
④
略
17. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函y=f(x)的图像恰好经过k 个格点,则称函数y=f(x)为k阶格点函数.已知函数:①y=2sinx;②y=cos(x+);③;④ .其中为一阶格点函数的序号为 (注:把你认为正确论断的序号都填上)
参考答案:
①③
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3﹣1的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N*),求{bn}的通项公式bn.
参考答案:
【考点】等比数列的通项公式;等差数列的通项公式;数列的求和.
【分析】(1)设出等比数列的公比,直接利用a2是a1和a3﹣1的等差中项列式求出公比,则等比数列的通项公式可求;
(2)当n=1时由递推式求出b1,模仿递推式写出n=n﹣1时的递推式,作差后代入an即可求出bn.
【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由a2是a1和a3﹣1的等差中项得:
2a2=a1+a3﹣1,∴,
∴2q=q2,∵q≠0,∴q=2,
∴;
(2)n=1时,由b1+2b2+3b3+…+nbn=an,得b1=a1=1.
n≥2时,由b1+2b2+3b3+…+nbn=an ①
b1+2b2+3b3+…+(n﹣1)bn﹣1=an﹣1②
①﹣②得:.
,
∴.
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查了数列的递推式,解答的关键是想到错位相减,是基础题.
19. (10分)求经过A(0,﹣1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=﹣2x上的圆的方程.
参考答案:
考点: 圆的标准方程.
专题: 计算题.
分析: 根据圆心在直线y=﹣2x上,设出圆心坐标和半径,写出圆的标准方程,把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式,由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离,让距离等于圆的半径列出另一个关系式,两者联立即可求出圆心坐标和半径,把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程.
解答: 因为圆心在直线y=﹣2x上,设圆心坐标为(a,﹣2a)(1分)
设圆的方程为(x﹣a)2+(y+2a)2=r2(2分)
圆经过点A(0,﹣1)和直线x+y=1相切,
所以有(8分)
解得,a=1或a=(12分)
所以圆的方程为(x﹣1)2+(y+2)2=2或(x﹣)2+(y+)2=.(14分)
点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,掌握直线与圆相切时满足的条件,会利用待定系数法求圆的标准方程,是一道中档题.
20. (本小题9分)如图,已知圆C的方程为:,直线的方程为:。
(1)求m的取值范围;
(2)若圆与直线交于P、Q两点,且以PQ为
直径的圆恰过坐标原点,求实数m的值。
参考答案:
(1)将圆的方程化为标准方程:
依题意得:,即,故m的取值范围为
(2)设点P()、点Q()
由题意得:OP、OQ所在的直线互相垂直,则,即
又,
………………①
将直线的方程:代入圆的方程得:
,
代入①式得:,解之得:
故实数m的值为3
略
21. 如图,在直角△ABC中,已知,若长为的线段以点为中点,问
的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值。
参考答案:
解析:
22. 已知全集U={2,3,x2+2x﹣3},集合A={2,|x+7|},且有?UA={5},求满足条件的x的值.
参考答案:
【考点】补集及其运算.
【分析】根据集合的关系得到关于x的方程组,求出x的值即可.
【解答】解:由题意得,
由|x+7|=3,得:x=﹣4或﹣10,
由x2+2x﹣3=5,得:x=﹣4或2,
∴x=﹣4.