江西省宜春市靖安仁首中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数|(x)=a|x-b|在区间[0,+)上是增函数,则实数a,b的取值范围是( )
A.a>0,b≥0 B.a>0,b≤0 C.a<0,b≥0 D.a<0,b≤0
参考答案:
D
略
2. 设,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,] D.[,2)
参考答案:
C
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】由已知条件推导出对任意实数x,函数f(x)=是增函数,由此能求出实数a的取值范围.
【解答】解:∵对任意实数x1≠x2,都有>0成立,
∴对任意实数x,函数f(x)=是增函数,
∵a>0且a≠1,
∴,∴1<a.∴a的取值范围是(1,].
故选:C.
4. 函数是( )
A.周期为的奇函数
B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
参考答案:
C
考点:二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法.
专题:计算题;三角函数的图像与性质.
分析:函数解析式利用诱导公式化简后,再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,求出函数的最小正周期,根据正弦函数为奇函数,即可得到正确的选项.
解答: 解:y=﹣sin2xcos2x=﹣sin4x,
∵ω=4,∴T==,
又正弦函数为奇函数,
则函数为周期是的奇函数.
故选C
点评:此题考查了二倍角的正弦,正弦函数的奇偶性,以及三角函数的周期性及其求法,熟练掌握公式是解本题的关键.
5. 抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,记事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A. A与D B. A与B C. B与C D. B与D
参考答案:
A
6. (5分)函数y=ln(1﹣x)的图象大致为()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 对数函数的图像与性质.
专题: 作图题.
分析: 根据对数函数图象的性质,我们易画出自然对数的性质,然后根据函数的平移变换,及对称变换法则,我们易分析函数解析式的变化情况,然后逐步变换图象即可得到答案.
解答: 函数y=lnx的图象如下图所示:
将函数y=lnx的图象关于y轴对称,得到y=ln(﹣x)的图象,再向右平移1个单位即得y=ln(1﹣x)的图象.
故选C
点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,图象变换,其中根据图象变换法则,根据函数解析式之间的关系,分析出变化方法是解答本题的关键.
7. 若角的终边落在直线上,则的值等于( ).
A. B. C.或 D.
参考答案:
D 解析:,
当是第二象限角时,;
当是第四象限角时,
8. 的值是( )
A. 0 B. 1 C.2 D.3
参考答案:
C
9. 已知全集,则图中阴影部分所表示的集
合等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:因,则,故应选A.
考点:不等式的解法与集合的运算.
10. 在等比数列中,已知,则的值为 ( )
A.16 B.24 C.48 D.128
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角的终边经过点,则
参考答案:
12. 某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图,则:
①前3年中总产量增长速度越来越快;
②前3年中总产量增长速度越来越慢;
③第3年后,这种产品停止生产;
④第3年后,这种产品年产量保持不变.
以上说法中正确的是_______.(填上所有正确的序号)
参考答案:
① ④
13. 已知f(x)=,则f [f(-2)]=________________.
参考答案:
14. 把函数的图象向左平移个单位(),所得图象轴对称,则的最小值是
参考答案:
15. 已知函数在上单调递减,则的单调递增区间是________.
参考答案:
略
16. 已知数列中,(),则
参考答案:
2
略
17. 已知函数.项数为31的等差数列{an}满足,且公差,若,则当k=____________时,.
参考答案:
16
【分析】
先分析函数的性质,可发现为奇函数,再根据奇函数的对称性及等差数列的性质,可知要使,则可得,因此即可求出.
【详解】∵,∴
∴函数为奇函数;
∴图像关于原点对称
∵是项数为31的等差数列,且公差
∴当时, ,即.
【点睛】本题主要考察函数的性质及等差数列的性质。函数的奇偶性的判断可根据以下几步:一是先看定义域是否关于原点对称;二看关系,即是否满足或;三是下结论,若满足上述关系,则可得函数为偶函数或奇函数。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2016秋?建邺区校级期中)已知 a∈R,函数 f(x)=a﹣.
(1)证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)为奇函数,求:
①a的值;
②f(x)的值域.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的值域;函数单调性的判断与证明.
【专题】证明题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)证法一:设x1<x2,作差比较作差可得f(x1)<f(x2),根据函数单调性的定义,可得:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
证法二:求导,根据f′(x)>0恒成立,可得:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增.
(2)①若f(x)为奇函数,则 f(0)=0,解得a的值;
②根据①可得函数的解析式,进而可得f(x)的值域.
【解答】证明:(1)证法一:设x1<x2,
则,,
则f(x1)﹣f(x2)=(a﹣)﹣(a﹣)=<0.
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
证法二:∵函数 f(x)=a﹣.
∴f′(x)=,
∵f′(x)>0恒成立,
故f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
(2)①若f(x)为奇函数,
则 f(0)=a﹣=0,
解得:a=,
②f(x)=﹣,
∵2x+1>1,
∴0<<1,
故﹣<f(x)<,
故函数的值域为:(﹣,).
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性,函数的奇偶性,函数的值域,难度中档.
19. 设关于x的一元二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用表示a;
参考答案:
(1)根据韦达定理,得α+β=,α?β=,由6α-2αβ+6β=3
得
(2)证明:因为
20. (本小题满分12分)
已知集合,集合.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求.
参考答案:
(Ⅰ). …………………6分
(Ⅱ) …………………12分
21. 已知函数f(x)=.
(1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0.
参考答案:
(1)(-∞,0)∪(0,+∞);(2)是偶函数;(3)提示:f(x)=.讨论时,,显然f(x)>0;当时,,也有f(x)>0,故f(x)>0.
22. (本题12分)在某中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是。0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少?
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内?(不必说明理由)
参考答案: