2022-2023学年安徽省铜陵市钟仓中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则下面一定成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知函数的图象关于
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
参考答案:
A
3. 方程的解的个数为……………( )
A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 2个
参考答案:
D
略
4. 如右图程序,如果输入x的值是-2,则运行结果是 ( )
A.3+ B.3- C.-5 D.--5
参考答案:
B
略
5. 如图,三棱柱A1B1C1—ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是
A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面A1B1BA
C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面AB1E
参考答案:
C
略
6. 在△中,若,则△的形状是
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
参考答案:
A
略
7. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当,x∈(0,2)时,f(x)=2x,则f(2015)的值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C. D.
参考答案:
A
【考点】抽象函数及其应用;函数的值.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由于对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),则4为f(x)的周期,从而f(2015)=f(4×504﹣1)=f(﹣1)=﹣f(1),再由已知解析式代入计算即可得到.
【解答】解:由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(﹣x)=﹣f(x),
又x∈(0,2)时,f(x)=2x,
所以f(1)=2,
因为对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),
所以4为f(x)的周期,
所以f(2015)=f(4×504﹣1)
=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2.
故选:A.
【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性及函数求值,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,属中档题.
8. 下列三角函数值大小比较正确的是( )
A.sin<cos B.sin(﹣)<sin(﹣)
C.tan(﹣)>tan(﹣) D.tan138°>tan143°
参考答案:
C
【考点】三角函数线;三角函数值的符号.
【分析】根据诱导公式,结合正弦函数和正切函数的单调性,可得答案.
【解答】解:sin=sin>cos=cos=sin,故A错误;
sin(﹣)=sin>sin(﹣)=sin,故B错误;
tan(﹣)=tan>tan(﹣)=tan,故C正确;
tan138°<tan143°,故D错误;
故选:C.
9. 若正数x,y满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由已知可整理得:,解得,将所求式子转化后利用基本不等式即可计算得其最大值.
【详解】解:∵正数满足,
∴,解得,
∴,当且仅当时,等号成立,
∴的最大值为.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
10. 已知函数 f(x)=,则f[f(﹣1)]的值是( )
A.40 B.42 C.44 D.45
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【分析】由已知得f(﹣1)=(﹣1)(﹣1﹣4)=5,从而f[f(﹣1)]=f(5),由此能求出结果.
【解答】解:∵函数,
∴f(﹣1)=(﹣1)(﹣1﹣4)=5,
f[f(﹣1)]=f(5)=5(5+4)=45.
故选:D.
【点评】本题考查函数值的求不地,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数的图象过点,则________
参考答案:
3
略
12. 已知函数是定义在上的减函数,如果在上恒成立,那么实数的取值范围是_____.
参考答案:
【知识点】函数的单调性与最值
【试题解析】因为在上恒成立,,函数是定义在上的减函数
所以,
故答案为:
13. 的最小正周期为,其中,则= .
参考答案:
10
14. 设向量,若向量与向量共线,则 .
参考答案:
2
15. 已知幂函数在区间是减函数,则实数m的值是 ▲ .
参考答案:
m=3
16. 已知,,则______.
参考答案:
或
【分析】
确定在第一和第二象限,再写出方程的解.
【详解】因为,,
所以在第一和第二象限,所以或.
故答案为:或
【点睛】本题主要考查三角函数的象限符号和特殊角的三角函数值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
17. 已知元素(x,y)在影射f下的象是(x+2y,2x﹣y),则(3,1)在f下的原象是 .
参考答案:
(1,1)
【考点】映射.
【分析】(x,y)在映射f下的象是(x+2y,2x﹣y),由此运算规则求(3,1)在f下的原象即可,先设原象为(x,y),由映射规则建立方程求解即可.
【解答】解:设原象为(x,y),则有,解得,
则(3,1)在 f 下的原象是 (1,1).
故答案为:(1,1).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知是偶函数.(1)求k的值
(2)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)因为是偶函数,
即,解得.
(2)由(1)得,所以, 又
则,所以,记 ,则方程只有一个正实根.
1 当a = 1时,无正实根;
②当a≠1时,,解得或a =–3.
而时,t =–2;a =–3时,>0.
若,即或,则有,所以.
综上所述,当时,函数与的图象有且只有一个公共点.
略
19. 在数列中,,是给定的非零整数,.
(1)若,,求;
(2)证明:从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
参考答案:
解析:(1)∵,,,,,,,,,,,,,……
∴自第22项起,每三个相邻的项周期地取值1,1,0,故=1.……4分
(2)首先证明数列必在有限项后出现零项.假设中没有零项,
由于,所以.时,都有.……………………6分
当时,();
当时,(),
即的值要么比至少小1,要么比至少小1.…………………8分
令,,则.
由于是确定的正整数,这样下去,必然存在某项,这与矛盾,从而中必有零项.……………………………………………………….……10分
若第一次出现的零项为,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值,即,
所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分
20. 已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值.
参考答案:
【考点】同角三角函数间的基本关系;三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α=±,再根据sin α与cos α异号,可得α在第二、四象限,分类讨论求得sinα,cosα的值.
【解答】解∵sin α=﹣3cos α.
又sin2α+cos2α=1,得(﹣3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1.∴cos α=±.
又由sin α=﹣3cos α,可知sin α与cos α异号,∴α在第二、四象限.
①当α是第二象限角时,sin α=,cos α=﹣.
②当α是第四象限角时,sin α=﹣,cos α=.
21. (本小题14分)已知函数定义在(―1,1)上,对于任意的,有
,且当时,。
(1)验证函数是否满足这些条件;
(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明;
(3)若,求方程的解。
参考答案:
① ∴-1
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