2022-2023学年山西省晋中市介休第六中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 设函数f(x)=,已知f(a)>1,则a的取值范围是( )
A. (-∞,-2)∪(-,+∞) B.(-,)
C. (-∞,-2)∪(-,1) D.(-2,-)∪(1,+∞)
参考答案:
C
3. 从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌,抽到牌“K”的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 等可能事件的概率.
专题: 概率与统计.
分析: 用K的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率.
解答: 解:∵一副扑克共54张,有4张K,
∴正好为K的概率为=,
故选D.
点评: 此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
4. 设向量若,则的最小值为( )
A、 B、1 C、 D、
参考答案:
C
略
5. (5分)如图所示,一个四棱锥的主视图和侧视图均为直角三角形,俯视图为矩形,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形的个数是()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
D
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 画出满足条件的四棱锥的直观图,可令棱锥PA⊥矩形ABCD,进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形,再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD,由此可得直角三角形的个数.
解答: 满足条件的四棱锥的底面为矩形,且一条侧棱与底面垂直,
画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示,
不妨令PA⊥矩形ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥CB,PA⊥CD,
故△PAB 和△PAD都是直角三角形.
又矩形中 CB⊥AB,CD⊥AD.
这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB,
CD垂直于平面PAD内的两条相交直线 PA、AD,
由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,
∴CB⊥PB, CD⊥PD,故△PCB 和△PCD都是直角三角形.
故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个.
故选D.
点评: 本题主要考查证明线线垂直、线面垂直的方法,以及棱锥的结构特征,属于基础题.
6. 函数的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 设常数,集合,.若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 函数f(x)=lnx+2x﹣6,若实数x0是函数f(x)的零点,且0<x1<x0,则f(x1)的值( )
A.恒为正 B.等于零 C.恒为负 D.不小于零
参考答案:
C
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
【分析】判断函数的单调性,利用函数的零点,推出结果即可.
【解答】解:函数f(x)=lnx+2x﹣6,函数的定义域x>0;
f′(x)=+2>0,函数f(x)是增函数,
实数x0是函数f(x)的零点,且0<x1<x0,
则f(x1)<0.
故选:C.
9. 如右图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,
E是B1B的中点,则点E的坐标为( )
A.(2,2,1) B.(2,2,)
C.(2,2,) D.(2,2,)
参考答案:
A
略
10. 化简的结果是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 集合,若,则 .
参考答案:
{1,2,3}
12. 函数的部分图象如图所示,则= .
参考答案:
6
【考点】正切函数的图象;平面向量数量积的运算.
【分析】根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量、和的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.
【解答】解:由图象得,令=0,即,k=0时解得x=2,
令=1,即,解得x=3,
∴A(2,0),B(3,1),
∴=(2,0),=(3,1),=(1,1),
∴=(5,1)?(1,1)=5+1=6.
故答案为:6.
13. (5分)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的表面积是4π,则这个三棱柱的体积是 .
参考答案:
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 如图所示,设球心为O,上下底面的中心分别为O1,O2,球O与三个侧面相切的切点分别A,B,C.设球的半径为R,由球的表面积是4π,可得4πR2=4π,R=1.可得O1O2=2,为三棱柱的高.在等边三角形中,由OA=OB=OC=1,可得AB,可得三棱柱的底面边长=2AB.利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S,即可得出三棱柱的体积.
解答: 如图所示,
设球心为O,上下底面的中心分别为O1,O2,球O与三个侧面相切的切点分别A,B,C.
设球的半径为R,∵球的表面积是4π,∴4πR2=4π,
解得R=1.∴O1O2=2,为三棱柱的高.
在等边三角形中,由OA=OB=OC=1,可得AB==,
可得三棱柱的底面边长=.
∴三棱柱的底面面积S==3.
∴这个三棱柱的体积=S?O1O2=6.
故答案为:6.
点评: 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.
14. 函数的图像与直线在轴右侧的交点横坐标从小到大依次为且,则函数的递增区间为 ____
参考答案:
略
15. 设f(x)是定义在R上的偶函数,且对于?x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=21﹣x则
(1)f(x)的周期是2;
(2)f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
(3)f(x)的最大值是2,最小值是1;
(4)当x∈(3,4)时,f(x)=2x﹣3
其中正确的命题的序号是 .
参考答案:
(1)、(3)、(4)
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】由f(x+1)=f(x﹣1)可知函数的周期为2,
由f(x)在[0,1]上是减函数知f(x)在(2,3)上递减,
由函数的周期性知求f(x)在[0,1]上的最值即可,
由函数的周期性求x∈(3,4)时的解析式即可.
【解答】解:∵对于?x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),
∴f(x)的周期是2;故(1)正确;
∵当x∈[0,1]时,f(x)=21﹣x,
∴f(x)在[0,1]上是减函数,
∴f(x)在(2,3)上递减,故(2)不正确;
∵当x∈[0,1]时,f(x)=21﹣x,且f(x)的周期是2,是定义在R上的偶函数;
∴fmax(x)=f(0)=2,fmin(x)=f(1)=1;故(3)正确;
∵当x∈[0,1]时,f(x)=21﹣x,又∵f(﹣x)=f(x),
∴当x∈(﹣1,0)时,f(x)=f(﹣x)=21+x,
∴当x∈(3,4)时,f(x)=21+(x﹣4)2x﹣3,故(4)正确;
故答案为:(1)、(3)、(4).
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了抽象函数的应用,属于中档题.
16. 已知,且是第二象限角,那么
参考答案:
17. 已知角α的终边经过点P(﹣5,12),则sinα+2cosα的值为 .
参考答案:
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】根据角α的终边经过点P(﹣5,12),可得sinα 和 cosα 的值,从而求得sinα+2cosα的值.
【解答】解:∵已知角α的终边经过点P(﹣5,12),则sinα=,cosα=,
∴sinα+2cosα=﹣=,
故答案为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f(x) 的对称轴方程为:x=1,设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),c=( ,1),d=(2,1)。
(1)分别求a·b和c·d的取值范围;
(2)当x∈[0,π]时,求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。
参考答案:
解:(1)a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
(2.f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在(1,)内单调递增,
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在(1,)内单调递减,
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
综上,当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为
略
19. (本题12分) 对于函数
(1) 判断函数的单调性并给出证明;
(2) 若存在实数使函数是奇函数,求;
(3)对于(2)中的,若,当恒成立,求m的最大值.
参考答案:
20. (本小题满分8分)在中,设,,且为直角三角形,求实数的值.
参考答案:
若,由,得,解得; ………… 2分
若,,由,
得,解得; ………… 5分
若,由,得,即,.
综上,的值为或. ………… 8分
21. 已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,点(n,Sn)都在函数f(x)=2x2-x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,且数列{bn}是等差数列,求非零常数p的值;
(3)设cn=,Tn是数列{cn}的前n项和,求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
参考答案:
解:(1)由已知,对所有n∈N*,Sn=2n2-n,
所以当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-3,
因为a1也满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=4n-3(n∈N*).
(2)由已知bn=,
因为{bn}是等差数列,可设bn=an+b(a、b为常数),
所以=an+b,于是2n2-n=an2+(ap+b)n+bp,
所以因为p≠0,所以b=0,p=-.
(3)cn==(-),
所以Tn=c1+c2+…+cn
=(1-+-+…+-)
=(1-).
由Tn<,得m>10(1-).因为1-<1,
所以m≥10.
所以,所求的最小正整数m的值为10.
22. 已知,,,,求的值.
参考答案:
解:∵
∴ 又 ∴ ………3分
∵ ∴ 又
∴ ………………6分
∴sin(a + b) = -sin[p + (a + b)] = ……………9分
……ks5u……12分