2022-2023学年陕西省汉中市隆基中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(),则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
观察图,可知阴影部分的面积S随h的增大而减小,排除B和C.
由于图形的宽度上小下大,所以S的变化率随h的增大而减小,排除D.
故选A.
2. 已知函数(其中),若的图象如图所示,则函数的图像是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
A
∵由图像易知:,;
∴为减函数,
又∵时,,与轴加点在轴下方;
∴选择.
3. 设函数y=f(x)在(﹣∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数:fK(x)=取函数f(x)=a﹣|x|(a>1).当K=时,函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( )
A.(﹣∞,0) B.(﹣a,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)
参考答案:
D
【考点】函数的单调性及单调区间.
【专题】计算题;压轴题;新定义.
【分析】先求出新函数的分界值,在利用定义求出新函数的解析式,最后利用指数函数的单调性求出结论即可.
【解答】解:因为?x=﹣1,x=1,
所以:fK(x)==,
因为a>1,
所以当x≤﹣1时,函数递增,
当﹣1<x<1时,为常数函数,
当x≥1时,为减函数.
故选 D.
【点评】本题是在新定义下对函数单调性以及单调区间的综合考查.在作带有新定义的题目时,一定要先理解定义,再用定义作题.
4. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|,则( )
A. B.f(sin1)>f(cos1)
C. D.f(sin2)>f(cos2)
参考答案:
C
【考点】3Q:函数的周期性;3F:函数单调性的性质.
【分析】利用函数的周期性及x∈[3,5]时的表达式f(x)=2﹣|x﹣4|,可求得x∈[﹣1,1]时的表达式,从而可判断逐个选项的正误.
【解答】解:∵f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)是周期为2的周期函数,又当x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|,
∴当﹣1≤x≤1时,x+4∈[3,5],
∴f(x)=f(x+4)=2﹣|x|,
∴,排除A,
f(sin1)=2﹣sin1<2﹣cos1=f(cos1)排除B,
,C正确,
f(sin2)=2﹣sin2<2﹣(﹣cos2)=f(cos2)排除D.
故选:C.
【点评】本题考查函数的周期性,难点在于求x∈[﹣1,1]时的表达式,属于中档题.
5. 在等差数列中,则等于( )
A.91 B.92 C.93 D.94
参考答案:
C
略
6. 已知函数,在上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 条件,条件函数是偶函数,则是的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
C
8. 已知集合A={x︱x>-2}且A∪B=A,则集合B可以是( )
A. {x︱x2>4 } B. {x︱ }
C. {y︱} D. {-1,0,1,2,3}
参考答案:
D
【详解】A、B={x|x>2或x<-2},
∵集合A={x|x>-2},
∴A∪B={x|x≠-2}≠A,不合题意;
B、B={x|x≥-2},
∵集合A={x|x>-2},
∴A∪B={x|x≥-2}=B,不合题意;
C、B={y|y≥-2},
∵集合A={x|x>-2},
∴A∪B={x|x≥-2}=B,不合题意;
D、若B={-1,0,1,2,3},
∵集合A={x|x>-2},
∴A∪B={x|x>-2}=A,与题意相符,
故选:D.
9. 函数f(x)=ex+x的零点所在一个区间是( )
A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由 函数f(x)是R上的连续函数,且 f(﹣1)?f(0)<0,根据函数的零点的判定定理得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)=ex+x是R上的连续函数,f(﹣1)=﹣1<0,f(0)=1>0,
∴f(﹣1)?f(0)<0,
故函数f(x)=ex+x的零点所在一个区间是 (﹣1,0),
故选B.
10. 若集合中的三个元素是某一个三角形的三条边长,则此三角形一定
不是 ()
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形
参考答案:
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列各式中正确的有 .(把你认为正确的序号全部写上)
(1);
(2)已知则;
(3)函数的图象与函数的图象关于原点对称;
(4)函数是偶函数;
(5)函数的递增区间为.
参考答案:
(3)
12. 已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点,且与直线2x+3y+5=0平行,则直线l的方程为 .
参考答案:
6x+9y﹣7=0
【考点】两条直线的交点坐标;直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】先求交点坐标,再假设方程,将交点坐标代入,即可得到直线l的方程.
【解答】解:联立方程,可得
解方程组可得
∵直线l与直线2x+3y+5=0平行,
∴可设方程为:2x+3y+c=0
将代入,可得
∴方程为:2x+3y=0
即6x+9y﹣7=0
故答案为:6x+9y﹣7=0
13. (5分)函数f(x)=+的定义域是 .
参考答案:
{2}
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直接利用开偶次方,被开方数非负,化简求解即可.
解答: 要使函数有意义,
则,解得:x=2.
函数的定义域为:{2}.
故答案为:{2}.
点评: 本题考查函数的定义域的求法,基本知识的考查.
14. 函数的最小值为 ;
参考答案:
略
15. 已知函数(其中的图像恒过定点,则点的坐标为
参考答案:
(1,2)
略
16. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上,且AB=6,BC=2,棱锥O﹣ABCD的体积为8,则R= .
参考答案:
4
【考点】球的体积和表面积.
【分析】由题意求出矩形的对角线的长,即截面圆的直径,根据棱锥的体积计算出球心距,进而求出球的半径.
【解答】解:由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半,
∵AB=6,BC=2,
∴r==2,
由矩形ABCD的面积S=AB?BC=12,
则O到平面ABCD的距离为h满足: =8,
解得h=2,
故球的半径R==4,
故答案为:4.
17. 集合的真子集的个数为 ▲ .
参考答案:
7
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分).已知函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,试比较f与f(a2-a+1)的大小.
参考答案:
略
19. (12分)已知圆M的圆心M在x轴上,半径为2,直线l:3x﹣4y+1=0被圆M截得的弦长为2,且圆心M在直线l的上方.
(1)求圆M的方程;
(2)设A(0,t),B(0,t+6)(﹣4≤t≤﹣2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC的面积S的最大值及对应的t值.
参考答案:
考点: 圆的标准方程;三角形的面积公式.
专题: 综合题;直线与圆.
分析: (1)设圆心M(a,0),利用M到l:3x﹣4y+1=0的距离,求出M坐标,然后求圆M的方程;
(2)设AC斜率为k1,BC斜率为k2,推出直线AC、直线BC的方程,求出△ABC的面积S的表达式,求出面积的最大值.
解答: 解:(1)设圆心M(a,0),由已知,得M到l:3x﹣4y+1=0的距离为=1,∴=1,
又∵M在l的上方,∴3a+1<0,∴﹣3a﹣1=5,∴a=﹣2,故圆的方程为(x+2)2+y2=4;
(2)设AC斜率为k1,BC斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.
联立得C点的横坐标为,
∵|AB|=t+6﹣t=6,∴S=||×6=||
由于圆M与AC相切,所以=2,∴k1=
同理,k2=,
∴k1﹣k2=﹣(1+),
∵﹣4≤t≤﹣2,∴﹣9≤t2+6t≤﹣8,∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4,∴|k1﹣k2|≤,
∴Smax=24.
此时t2+6t=﹣8,t=﹣2或﹣4.
点评: 本题是中档题,考查直线与圆的位置关系,三角形面积的最值的求法,考查计算能力.
20. 已知.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)由已知易得,对分母除“1”变化,化简即可求解。
(2)由及得,再由半角公式易得;或者先求得的正弦值和余弦值,再求解。
【详解】(1)由得,
则.
(2)
得,由及得,
则,,
或:由及得
从而,
【点睛】此题考查三角函数化简中的除“”变化以及半角公式的使用,属于较易题目。
21. (本小题满分14分)如图,已知底角为450角的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线把梯形ABCD分成两部分,令BF= x,求左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出图象。
参考答案:
过A,D分别作AG⊥BC于G,DH⊥BC于H,因为ABCD是等腰梯形,底角450,
AB=cm所以BH=AG=DH=HC=2cm,又BC=7cm,所以AD=GH=3cm,
(1)当点F在BG上时,即时,y=
(2)当点F在GH上时,即时,y=2+(x-2)=2x-2 …………………6分
(3)当点F在HC上时,即时,y ==-
∴函数的解析式为 …………8分
(图6分)
22. 某校高三年级实验班与普通班共1000名学生,其中实验班学生200人,普通班学生800人,现将高三一模考试数学成绩制成如图所示频数分布直方图,按成绩依次分为5组,其中第一组([0, 30)),
第二组([30, 60)),第三组([60, 90)),的频数成等比数列,第一组与第五组([120, 150))的频数相等,第二组与第四组([90, 120))的频数相等。
(1)求第三组的频率;
(2)已知实验班学生成绩在第五组,在第四组,剩下的都在第三组,
试估计实验班学生数学成绩的平均分;
(3)在(2)的条件下,按分层抽样的方法从第5组中抽取5人进行经验交流,再从这5人中随机抽取3人在全校师生大会上作经验报告,求抽取的3人中恰有一个普通班学生的概率。
参考答案:
:(1)设公比为,则根据题意可得 2(100+100)+1002=1000,
整理得2+2-8=0,解得,
∴第三组的频数为 400,频率为
(2)由题意实验班学生成绩在第五组有 80 人,在第四组有 100 人,在第三组有 2