江苏省常州市晋陵中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一对夫妇有两个孩子，已知其中一个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】条件概率与独立事件．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，分别求出A、B的结果个数，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式求解即可
【解答】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}．
于是可知 P（A）=，P（AB）=．
问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式，
得P（B|A）===
故选D．
【点评】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：P（B|A）=，等可能事件的概率的求解公式：P（M）=（其中n为试验的所有结果，m为基本事件的结果）
2. 关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|＞a2﹣3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜2 B．
C．a＜1或a＞2 D．a≤1或a≥2
参考答案：
B
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【分析】由题意可得|x﹣1|﹣|x﹣3|＞a2﹣3a的解集非空，根据绝对值的意义求得|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值为2，可得2＞a2﹣3a，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|＞a2﹣3a的解集为非空数集，
则a2﹣3a＜（|x﹣1|﹣|x﹣3|）max即可，
而|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值是2，
∴只需a2﹣3a﹣2＜0，解得：＜a＜，
故选：B．
3. 三个不相等的实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
参考答案：
D
略
4. 设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2
参考答案：
D
5. 已知，，则=( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
6. 已知函数，则的值是（ ）。
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 等差数列{an}和{bn}，它们的前n项之和分别为Sn和Tn，若=，则的值是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】由等差数列{an}与{bn}的性质和前n项和公式可得：，代入若=求值．
【解答】解：由等差数列{an}与{bn}的性质和前n项和公式可得：
===，
∵，
∴===，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握公式．
8. 已知函数． 若f（x）在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，3] B．（2，3） C．（2，+∞） D．（1，2）
参考答案：
A
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据对数函数以及一次函数的性质求出a的范围即可．
【解答】解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，
又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，
∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，
所以2＜a≤3，
故选：A．
9. 等比数列的前项和为，已知,，则=（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 实数x，y满足|x|﹣log2=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【分析】由题意可得y=（）|x|=，即可得到函数的图象．
【解答】解：∵实数x，y满足|x|﹣log2=0，
∴log2=|x|，
∴=2|x|，
∴y=（）|x|=，
故选：B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点在直线上，则的最小值为
参考答案：
12. （5分）若||=1，||=，（﹣）?=0，则与的夹角为 ．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 通过已知求出与的数量积，在由数量积的定义解答．
解答： ||=1，||=，（﹣）?=0，则，所以
所以与的夹角的余弦值为：cosθ==；所以θ=；
故答案为：．
点评： 本题考查了向量的数量积公式的运用，属于基础题．
13. 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于__________．
参考答案：
见解析
解：，设，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∴在是取最小．
14. 设已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则___________.
参考答案：
略
15. （4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，﹣2），B（1，﹣3，1）），点 M在y轴上，且｜MA｜=｜MB｜，则M的坐标是 ．
参考答案：
（0，﹣1，0）
考点： 空间两点间的距离公式．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 设出点M（0，y，0），由｜MA｜=｜MB｜，建立关于参数y的方程，求y值即可．
解答： 设设M（0，y，0），由｜MA｜=｜MB｜，
可得，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．
M的坐标是（0，﹣1，0）．
故答案为：（0，﹣1，0）．
点评： 本题考点是点、线、面间的距离计算，空间两点距离公式的应用，考查计算能力．
16. 将函数y=x+2的图象按=(6,－2)平移后，得到的新图象的解析为_____________
参考答案：
y = x－8
17. （5分）函数f （x）=的单调递增区间为 ．
参考答案：
，k∈Z
考点： 对数函数的定义域；余弦函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： 利用复合函数的单调性的规律：同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性，利用三角函数的单调性的处理方法：整体数学求出单调区间．
解答： ∵y=log0.5t为减函数，
所以函数f （x）=的单调递增区间为即为 单调减区间
且
令
解得
故答案为 （k∈Z）
点评： 本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，，，.
（1）求b、c的值；
（2）求的值.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）利用余弦定理，代入已知条件即可得到关于的方程，解方程即可；
（2），根据正弦定理即可求出.
【详解】（1）∵，，，
∴由余弦定理，得，
即
∴，.
（2）在△ABC中，由，得，
由正弦定理有：，即，
∴.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
参考答案：
【考点】HX：解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20. 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）
共有100个数据，将数据分组如右表：
（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在中的频率及纤度小于的频率是多少？
（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．
分组
频数
合计
参考答案：
分组
频数
频率
4
0.04
25
0.25
30
0.30
29
0.29
10
0.10
2
0.02
合计
100
1.00
（2）纤度落在中的频率约为，
纤度小于1.40的频率约为．
（Ⅲ）总体数据的众数：1.40 中位数：1.408
平均数:
．
21. （9分）已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；
参考答案：
（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以 ，即．因为为整数，故．
故所求圆的方程为． …………………………………4分
（Ⅱ）把直线即．代入圆的方程，消去整理，得
．
由于直线交圆于两点，故．
即，由于，解得．
所以实数的取值范围是．…………………………………………9分
22. 在三角形中，角及其对边满足：
.
(1)求角的大小；(2)求函数的值域.
参考答案：
(1)由条件得：
，
所以，，
又，所以，，因为，所以，
所以，又，所以.
(2)在三角形中，，故.
因为，所以.
所以，.
所以，函数的值域为.