江苏省常州市晋陵中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一对夫妇有两个孩子,已知其中一个孩子是女孩,那么另一个孩子也是女孩的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】条件概率与独立事件.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个也是女孩”,分别求出A、B的结果个数,问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求P(B|A),由条件概率公式求解即可
【解答】解:一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女}.
记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个也是女孩”,则A={(男,女),(女,男),(女,女)},B={(男,女),(女,男),(女,女)},AB={(女,女)}.
于是可知 P(A)=,P(AB)=.
问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求P(B|A),由条件概率公式,
得P(B|A)===
故选D.
【点评】本题的考点是条件概率与独立事件,主要考查条件概率的计算公式:P(B|A)=,等可能事件的概率的求解公式:P(M)=(其中n为试验的所有结果,m为基本事件的结果)
2. 关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|>a2﹣3a的解集为非空数集,则实数a的取值范围是( )
A.1<a<2 B.
C.a<1或a>2 D.a≤1或a≥2
参考答案:
B
【考点】R4:绝对值三角不等式.
【分析】由题意可得|x﹣1|﹣|x﹣3|>a2﹣3a的解集非空,根据绝对值的意义求得|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值为2,可得2>a2﹣3a,由此求得实数a的取值范围.
【解答】解:关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣3|>a2﹣3a的解集为非空数集,
则a2﹣3a<(|x﹣1|﹣|x﹣3|)max即可,
而|x﹣1|﹣|x﹣3|的最大值是2,
∴只需a2﹣3a﹣2<0,解得:<a<,
故选:B.
3. 三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则等于( )
A. B. C.2 D.4
参考答案:
D
略
4. 设Sn为数列{an}的前n项和,an=1+2+22+…+2n-1,则Sn的值为( )
A.2n-1 B.2n-1-1
C.2n-n-2 D.2n+1-n-2
参考答案:
D
5. 已知,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知函数,则的值是( )。
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 等差数列{an}和{bn},它们的前n项之和分别为Sn和Tn,若=,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】8F:等差数列的性质.
【分析】由等差数列{an}与{bn}的性质和前n项和公式可得:,代入若=求值.
【解答】解:由等差数列{an}与{bn}的性质和前n项和公式可得:
===,
∵,
∴===,
故选:C.
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的性质的灵活应用,解题的关键是熟练掌握公式.
8. 已知函数. 若f(x)在R上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( )
A.(2,3] B.(2,3) C.(2,+∞) D.(1,2)
参考答案:
A
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】根据对数函数以及一次函数的性质求出a的范围即可.
【解答】解:对数函数在x>1时是增函数,所以a>1,
又f(x)=(a﹣2)x﹣1,x≤1是增函数,
∴a>2,并且x=1时(a﹣2)x﹣1≤0,即a﹣3≤0,
所以2<a≤3,
故选:A.
9. 等比数列的前项和为,已知,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 实数x,y满足|x|﹣log2=0,则y关于x的函数的图象形状大致是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【分析】由题意可得y=()|x|=,即可得到函数的图象.
【解答】解:∵实数x,y满足|x|﹣log2=0,
∴log2=|x|,
∴=2|x|,
∴y=()|x|=,
故选:B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点在直线上,则的最小值为
参考答案:
12. (5分)若||=1,||=,(﹣)?=0,则与的夹角为 .
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 通过已知求出与的数量积,在由数量积的定义解答.
解答: ||=1,||=,(﹣)?=0,则,所以
所以与的夹角的余弦值为:cosθ==;所以θ=;
故答案为:.
点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用,属于基础题.
13. 设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,等于__________.
参考答案:
见解析
解:,设,
,
,
∴,
∴,
∴,,
∴在是取最小.
14. 设已知函数,正实数m,n满足,且,若在区间上的最大值为2,则___________.
参考答案:
略
15. (4分)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,﹣2),B(1,﹣3,1)),点 M在y轴上,且|MA|=|MB|,则M的坐标是 .
参考答案:
(0,﹣1,0)
考点: 空间两点间的距离公式.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 设出点M(0,y,0),由|MA|=|MB|,建立关于参数y的方程,求y值即可.
解答: 设设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,
可得,即y2+5=(y+3)2+2,解得:y=﹣1.
M的坐标是(0,﹣1,0).
故答案为:(0,﹣1,0).
点评: 本题考点是点、线、面间的距离计算,空间两点距离公式的应用,考查计算能力.
16. 将函数y=x+2的图象按=(6,-2)平移后,得到的新图象的解析为_____________
参考答案:
y = x-8
17. (5分)函数f (x)=的单调递增区间为 .
参考答案:
,k∈Z
考点: 对数函数的定义域;余弦函数的单调性.
专题: 计算题.
分析: 利用复合函数的单调性的规律:同增异减将原函数的单调性转化为t的单调性,利用三角函数的单调性的处理方法:整体数学求出单调区间.
解答: ∵y=log0.5t为减函数,
所以函数f (x)=的单调递增区间为即为 单调减区间
且
令
解得
故答案为 (k∈Z)
点评: 本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,,,.
(1)求b、c的值;
(2)求的值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)利用余弦定理,代入已知条件即可得到关于的方程,解方程即可;
(2),根据正弦定理即可求出.
【详解】(1)∵,,,
∴由余弦定理,得,
即
∴,.
(2)在△ABC中,由,得,
由正弦定理有:,即,
∴.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
19. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
参考答案:
【考点】HX:解三角形.
【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出cosC的值,即可确定出出C的度数;
(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a+b的值,即可求△ABC的周长.
【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,
即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=,
∴C=;
(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?,
∴(a+b)2﹣3ab=7,
∵S=absinC=ab=,
∴ab=6,
∴(a+b)2﹣18=7,
∴a+b=5,
∴△ABC的周长为5+.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
20. 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)
共有100个数据,将数据分组如右表:
(1)画出频率分布表,并画出频率分布直方图;
(2)估计纤度落在中的频率及纤度小于的频率是多少?
(3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数.
分组
频数
合计
参考答案:
分组
频数
频率
4
0.04
25
0.25
30
0.30
29
0.29
10
0.10
2
0.02
合计
100
1.00
(2)纤度落在中的频率约为,
纤度小于1.40的频率约为.
(Ⅲ)总体数据的众数:1.40 中位数:1.408
平均数:
.
21. (9分)已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
参考答案:
(Ⅰ)设圆心为().由于圆与直线相切,且半径为,所以 ,即.因为为整数,故.
故所求圆的方程为. …………………………………4分
(Ⅱ)把直线即.代入圆的方程,消去整理,得
.
由于直线交圆于两点,故.
即,由于,解得.
所以实数的取值范围是.…………………………………………9分
22. 在三角形中,角及其对边满足:
.
(1)求角的大小;(2)求函数的值域.
参考答案:
(1)由条件得:
,
所以,,
又,所以,,因为,所以,
所以,又,所以.
(2)在三角形中,,故.
因为,所以.
所以,.
所以,函数的值域为.