2022-2023学年山西省晋中市太谷县明星镇中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
参考答案：
C
【分析】
利用二项式通项公式分类讨论：当（x+1）中取x时，式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即 ；
当（x+1）中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.
【详解】因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式 可知
(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即；
（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即 ，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.
【点睛】本题考查了二项式定理地应用，难度较高，解题中首先要根据题意进行分类讨论，确定后面式子中x的指数幂，再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组，有一定的难度，解题关键是对二项式定理的深度理解.
2. 已知函数（ ）
A．在上递增，在上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在上递增，在上递减
参考答案：
A
略
3. a，b，c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若⊥，⊥，则⊥
C. 若⊥，⊥，则 D. 若⊥，⊥，则
参考答案：
D
【分析】
根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可.
【详解】，，此时或，错误；
，，此时或，错误；
，，此时可能平行、异面或相交，错误；
垂直于同一平面的两直线平行，正确.
本题正确结果：
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.
4. 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）
A．25 B．6 C．7 D．8
参考答案：
C
5. 某商人将彩电先按原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是( )元.
A.2520 B.2250 C.900 D.3150
参考答案：
A
略
6. （3分）使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（）
A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，4）
参考答案：
C
考点： 函数零点的判定定理．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）?f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论．
解答： 解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2
∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0
由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点
故选C．
点评： 本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
7. 若,则等于
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
8. 函数一定存在零点的区间是（ ）
A． B． C. D．(1,2)
参考答案：
A
∵函数在上的连续函数，∵，，∴，由函数零点的判定定理可知：函数在区间内存在零点，故选A.
9. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
参考答案：
C
略
10. 已知，是两个不共线的向量，且与共线，则m=（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
参考答案：
A
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用共线向量的性质列出方程，由此能求出m的值．
【解答】解：∵是两个不共线的向量，且与共线，
∴，
解得m=．
故选：A．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为，从{2，4，6}中随机选取一个数为，则的概率是______________。
参考答案：
12. 若BA，则m的取值范围是 .
参考答案：
13.
参考答案：
{y|10，则函数的最大值为
参考答案：
-2
略
17. 已知直二面角，点，C为垂足，，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于________
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=2sin2x．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求g（x）的单调增区间；
（2）已知区间（m，n∈R且m＜n）满足：y=g（x）在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求n﹣m的最小值．
参考答案：
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g（x）的单调增区间．
（2）利用正弦函数的零点和周期性，求得n﹣m的最小值．
【解答】解：（1）把函数f（x）=2sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=2sin（2x+）的图象；
再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1的图象．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得g（x）的单调增区间为，k∈Z．
（2）令g（x）=2sin（2x+）+1=0，求得sin（2x+）=﹣，∴2x+=2kπ﹣，或2x+=2kπ﹣，
即x=kπ﹣，或 x=kπ﹣，k∈Z．
故函数g（x）在一个周期上有两个零点．
根据y=g（x）在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，
当n﹣m的最小值时，可取m=﹣，n=14π﹣，此时，n﹣m=14π+=．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、零点和周期性，属于中档题．
19. 已知函数，其中，
（1）若f(x)的图象关于直线对称，求a的值；
（2）求f(x)在区间[0，1]上的最小值.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）由题得，解方程即得解；（2）把对称轴与区间[0，1]分三种情况讨论求函数的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，的图象的对称轴方程为.
由，得.
（2）函数的图象的对称轴方程为，
①当，即时，
因为在区间(0，1)上单调递增，
所以在区间[0，1]上的最小值为.
②当，即时，
因为在区间(0，)上单调递减，在区间(，1)上单调递增，
所以在区间上的最小值为.
③当，即时，
因为在区间(0，1)上单调递减，
所以在区间[0，1]上的最小值为.
综上：.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20. 已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|5﹣2m≤x≤m+1}．
（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；
（2）若B?A，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】（1）将m=3代入求出B，求出A，从而求出A∩B，A∪B即可；（2）根据B?A，通过讨论B=?和B≠?时得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）当m=3时，B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1，4]
因为A={x|2≤x≤6}
所以A∩B=[2，4]A∪B=[﹣1，6]
（2）因为B?A，所以当B=?时，5﹣2m＞m+
所以
当B≠?时，则
解得
综上所述：实数m的取值范围为
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查集合的交集．并集的运算，是一道基础题．
21. 已知函数，不等式的解集为．
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）若有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
参考答案：
（I）∵的解集为，即的解集为，
∴，，即，．
（II），
原方程可化为．
令，则，从而有两个不同的正实数根．
∴
即 ∴．
略
22. (本小题满分分)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分。
（1）求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
（2）在直角坐标系中画出函数f(x)的草图；
（3）写出函数f(x)的值域；
（4）写出函数的单调递减区间。
参考答案：
（1）设顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，
将(2,2)代入可得a＝－2，
∴y＝－2(x－3)2＋4，
即y＝－2x2＋12x－14.
设x<－2，则－x>2.
又f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，
即f(x)＝－2x2－12x－14.
∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.
（2）函数f(x)的图象如图所示：
（3）由函数图象可得函数f(x)的值域为(－∞，4]．
（4）由图知，递减区间为及（除无穷外，其他端点也可以取到）