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2022-2023学年山西省晋中市太谷县明星镇中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知的展开式中没有常数项,则n的最大值是(  ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 参考答案: C 【分析】 利用二项式通项公式分类讨论:当(x+1)中取x时,式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即 ; 当(x+1)中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可. 【详解】因为的展开式中没有常数项;由二项式展开式的通项公式 可知 (1)当(x+1)中取x时,式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即; (2)当(x+1)中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即 ,选项中的n要同时满足上面两个不等式,故选B. 【点睛】本题考查了二项式定理地应用,难度较高,解题中首先要根据题意进行分类讨论,确定后面式子中x的指数幂,再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组,有一定的难度,解题关键是对二项式定理的深度理解. 2. 已知函数(   ) A.在上递增,在上递减       B.在上递增,在上递减      C.在上递增,在上递减      D.在上递增,在上递减 参考答案: A 略 3. a,b,c表示直线,表示平面,下列命题正确的是( ) A. 若,,则 B. 若⊥,⊥,则⊥ C. 若⊥,⊥,则 D. 若⊥,⊥,则 参考答案: D 【分析】 根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】,,此时或,错误; ,,此时或,错误; ,,此时可能平行、异面或相交,错误; 垂直于同一平面的两直线平行,正确. 本题正确结果: 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用,属于基础题. 4. 在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为   (      ) A.25       B.6        C.7        D.8 参考答案: C 5. 某商人将彩电先按原价提高,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了元,则每台彩电原价是(    )元.     A.2520         B.2250         C.900        D.3150 参考答案: A 略 6. (3分)使得函数f(x)=lnx+x﹣2有零点的一个区间是() A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 参考答案: C 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数的定义域(0,+∞),令f(x)=lnx+x﹣2,然后根据f(a)?f(b)<0,结合零点判定定理可知函数在(a,b)上存在一个零点,可得结论. 解答: 解:由题意可得函数的定义域(0,+∞),令f(x)=lnx+x﹣2 ∵f(1)=﹣<0,f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0 由函数零点的判定定理可知,函数y=f(x)=lnx+x﹣2在(2,3)上有一个零点 故选C. 点评: 本题主要考查了函数的零点判定定理的应用,同时考查了运算求解的能力,属于基础题. 7. 若,则等于 A.           B.           C.                D. 参考答案: A 略 8. 函数一定存在零点的区间是(      ) A.         B.       C.         D.(1,2) 参考答案: A ∵函数在上的连续函数,∵,,∴,由函数零点的判定定理可知:函数在区间内存在零点,故选A.   9. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为(  ) 参考答案: C 略 10. 已知,是两个不共线的向量,且与共线,则m=(  ) A. B.  C.3 D.﹣3 参考答案: A 【考点】平行向量与共线向量. 【分析】利用共线向量的性质列出方程,由此能求出m的值. 【解答】解:∵是两个不共线的向量,且与共线, ∴, 解得m=. 故选:A.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为,从{2,4,6}中随机选取一个数为,则的概率是______________。 参考答案: 12. 若BA,则m的取值范围是           . 参考答案: 13. 参考答案: {y|10,则函数的最大值为       参考答案: -2   略 17. 已知直二面角,点,C为垂足,,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于________ 参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. 已知函数f(x)=2sin2x.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象. (1)求g(x)的单调增区间; (2)已知区间(m,n∈R且m<n)满足:y=g(x)在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求n﹣m的最小值. 参考答案: 【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;H1:三角函数的周期性及其求法. 【分析】(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得g(x)的单调增区间. (2)利用正弦函数的零点和周期性,求得n﹣m的最小值. 【解答】解:(1)把函数f(x)=2sin2x 的图象向左平移个单位,可得y=2sin(2x+)的图象; 再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)=2sin(2x+)+1的图象. 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得g(x)的单调增区间为,k∈Z. (2)令g(x)=2sin(2x+)+1=0,求得sin(2x+)=﹣,∴2x+=2kπ﹣,或2x+=2kπ﹣, 即x=kπ﹣,或 x=kπ﹣,k∈Z. 故函数g(x)在一个周期上有两个零点. 根据y=g(x)在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中, 当n﹣m的最小值时,可取m=﹣,n=14π﹣,此时,n﹣m=14π+=. 【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性、零点和周期性,属于中档题. 19. 已知函数,其中, (1)若f(x)的图象关于直线对称,求a的值; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 参考答案: (1)(2) 【分析】 (1)由题得,解方程即得解;(2)把对称轴与区间[0,1]分三种情况讨论求函数的最小值. 【详解】(1)因为, 所以,的图象的对称轴方程为. 由,得. (2)函数的图象的对称轴方程为, ①当,即时, 因为在区间(0,1)上单调递增, 所以在区间[0,1]上的最小值为. ②当,即时, 因为在区间(0,)上单调递减,在区间(,1)上单调递增, 所以在区间上的最小值为. ③当,即时, 因为在区间(0,1)上单调递减, 所以在区间[0,1]上的最小值为. 综上:. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,考查二次函数最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20. 已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0},B={x|5﹣2m≤x≤m+1}. (1)当m=3时,求集合A∩B,A∪B; (2)若B?A,求实数m的取值范围. 参考答案: 【考点】集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】(1)将m=3代入求出B,求出A,从而求出A∩B,A∪B即可;(2)根据B?A,通过讨论B=?和B≠?时得到关于m的不等式组,解出即可. 【解答】解:(1)当m=3时,B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1,4] 因为A={x|2≤x≤6} 所以A∩B=[2,4]A∪B=[﹣1,6] (2)因为B?A,所以当B=?时,5﹣2m>m+ 所以 当B≠?时,则 解得 综上所述:实数m的取值范围为 【点评】本题考查了集合的包含关系,考查集合的交集.并集的运算,是一道基础题. 21. 已知函数,不等式的解集为. (Ⅰ)求实数a、b的值; (Ⅱ)若有两个不相等的实数根,求实数k的取值范围. 参考答案: (I)∵的解集为,即的解集为,   ∴,,即,. (II), 原方程可化为. 令,则,从而有两个不同的正实数根.  ∴ 即 ∴. 略 22. (本小题满分分)设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分。 (1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图; (3)写出函数f(x)的值域; (4)写出函数的单调递减区间。 参考答案: (1)设顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的方程为y=a(x-3)2+4, 将(2,2)代入可得a=-2, ∴y=-2(x-3)2+4, 即y=-2x2+12x-14. 设x<-2,则-x>2. 又f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即f(x)=-2x2-12x-14. ∴函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式为f(x)=-2x2-12x-14.   (2)函数f(x)的图象如图所示: (3)由函数图象可得函数f(x)的值域为(-∞,4]. (4)由图知,递减区间为及(除无穷外,其他端点也可以取到)
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