2022年浙江省衢州市信达中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={1,2,4,6},B={2,3,5},则韦恩图中阴影部分表示的集合( )
A.{2} B.{3,5} C.{1,4,6} D.{3,5,7,8}
参考答案:
B
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】根据题意,分析可得,阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素,根据已知的A、B,分析可得答案.
【解答】解:根据题意,分析可得,阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素,
即阴影部分表示(CUA)∩B,
又有A={1,2,4,6},B={2,3,5},
则(CUA)∩B={3,5},
故选B.
【点评】本题考查集合的图示表示法,一般采取数形结合的标数法或集合关系分析法.
2. 化简得( )
A. B. C. D.
参考答案:
D 解析:
3. 已知集合,则是
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 设f(x)=,则f(f(2))的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【专题】计算题.
【分析】考查对分段函数的理解程度,f(2)=log3(22﹣1)=1,所以f(f(2))=f(1)=2e1﹣1=2.
【解答】解:f(f(2))=f(log3(22﹣1))=f(1)=2e1﹣1=2,故选C.
【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型,主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解.
5. 已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0]
参考答案:
D
【考点】其他不等式的解法.
【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.
【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,
由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,
求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,
故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]
故选:D
6. 如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知 ,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知正三角形ABC边长为2,D是BC的中点,点E满足,则()
A. B. C. D. -1
参考答案:
C
【分析】
化简,分别计算,,代入得到答案.
【详解】
正三角形ABC边长为2,D是BC的中点,点E满足
故答案选C
【点睛】本题考查了向量的计算,将是解题的关键,也可以建立直角坐标系解得答案.
9. 已知D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
10. 设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线与圆相交于A,B两点,则弦AB的长度等于________
参考答案:
12. 求函数的定义域
参考答案:
略
13. 用数学归纳法证明()时,从“n=”到“n=”的证明,左边需增添的代数式是___________。
参考答案:
略
14. 化简: += .
参考答案:
2
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解.
【解答】解: +
=+
=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查有理数指数幂化简求值,是基础题,解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用.
15. 设函数是定义在上的奇函数,且,则 .
参考答案:
-1
16. ⊙C1:与⊙C2:交于A、B两点,则直线AB的方程为______.(结果化为直线方程的一般式)
参考答案:
【分析】
将两个方程相减,即可得公共弦AB的方程.
【详解】:与:交于、两点,则直线的方程为:
即:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了两圆的相交弦问题,考查了学生综合分析,数学运算能力,属于基础题.
17. 甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示.老师在 计算甲、乙两人平均分时,发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从随机取一个数字代替,则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 .
参考答案:
0.1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=0,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B﹣ACD,点M是棱BC的中点.
(1)求证:OM∥平面ABD;
(2)求证:平面ABC⊥平面MDO.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)由中位线定理得OM∥AB,再证OM∥平面ABD;
(2)利用勾股定理证明OD⊥OM,由菱形的性质证明OD⊥AC;从而证明OD⊥平面ABC,平面ABC⊥平面MDO.
【解答】证明:(1)由题意知,O为AC的中点,
∵M为BC的中点,
∴OM∥AB;
又∵OM?平面ABD,BC?平面ABD,
∴OM∥平面ABD;
(2)由题意知,OM=OD=3,,
∴OM2+OD2=DM2,
∴∠DOM=90°,
即OD⊥OM;
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OD⊥AC;
∵OM∩AC=O,OM,AC?平面ABC,
∴OD⊥平面ABC;
∵OD?平面MDO,
∴平面ABC⊥平面MDO.
19. 在△ABC中,.
(1)求AB的值;
(2)求的值.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)将利用正弦定理化简得到,根据a的值求c的值,即为AB的长;
(2)由余弦定理表示出,将a,b,c的值代入求出的值,进而求出的值,原式利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
【详解】(1)∵在△ABC中,,
∴利用正弦定理化简得:,
,
则;
(2),
,
,
则.
【点睛】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
20. (本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135?,
且经过点P(1,1).
(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)求点A(3,4)关于直线l的对称点A?的坐标.
参考答案:
(Ⅰ)∵k=tan135?=-1,……………………………………………2分
∴l:y-1=-(x-1),即x+y-2=0;………………………………5分
(Ⅱ)设A?(a, b),则…………………8分
解得a=-2,b=-1,∴A?(-2,-1).……………………………10分
21. 已知函数在上为增函数,且f()=,f(1)=2,集合,
关于的不等式的解集为,求使的实数的取值范围.
参考答案:
解:由得
解得,于是 4分
又,
所以 8分
因为,所以, 即的取值范围是. 10分
22. (12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数.
(Ⅰ)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数
(Ⅱ) 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广成三角恒等式,并证明你的结论.
参考答案: