2022年江苏省南京市第五十四中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面坐标系中,直线与圆相交于,(在第一象限)两个不同的点,且则的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 函数的图象是…………………………… ( )
参考答案:
A
略
3. 已知实数是函数的一个零点,若,则
A. B.
C. D.[]
参考答案:
B
在上递增,且,由图象可知,当时,有,选B
4. 若,则 ( )
A.a
2},那么a的值为______________.
参考答案:
12. 幂函数的图象过点,那么的值为___ ▲______.
参考答案:
13. (5分)向量,满足||=1,|﹣|=,与的夹角为60°,||= .
参考答案:
考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由题意可得:,展开代值可得,解之即可.
解答: 解:由题意可得:,即,
代入值可得:1﹣2×1××+=,
整理可得,解得=,
故答案为:
点评: 本题考查向量模长的求解,熟练掌握数量积的运算是解决问题的关键,属基础题.
14. 已知实数x、y满足,则的最大值是
参考答案:
15. 若函数满足,则 ;
参考答案:
略
16. 已知点A(-1,5)和向量=(2,3),若=3,则点B的坐标为
参考答案:
(5,14)
17. (5分)(2015秋蒙城县校级期末)函数的定义域是 .
参考答案:
[﹣2,0)∪(0,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合.
【解答】解:由,
解①得:x≥﹣2.
解②得:2x≠1,即x≠0.
∴x≥﹣2,且x≠0.
∴函数的定义域是[﹣2,0)∪(0,+∞).
故答案为:[﹣2,0)∪(0,+∞).
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,训练了简单的一次不等式和指数不等式的解法,是基础的计算题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设,是二个不共线向量,知,,.
(1)证明:A、B、D三点共线
(2)若,且B、D、F三点线,求K的值.
参考答案:
(1)解:证明:
与有公共点, A、B、D三点共线
(2)B、D、F三点共线,存在实数,使
助
又不共线
略
19. 已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
参考答案:
【考点】轨迹方程;三角形的面积公式.
【分析】(1)由圆C的方程求出圆心坐标和半径,设出M坐标,由与数量积等于0列式得M的轨迹方程;
(2)设M的轨迹的圆心为N,由|OP|=|OM|得到ON⊥PM.求出ON所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O到l的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度,代入三角形面积公式得答案.
【解答】解:(1)由圆C:x2+y2﹣8y=0,得x2+(y﹣4)2=16,
∴圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.
设M(x,y),则,.
由题意可得:.
即x(2﹣x)+(y﹣4)(2﹣y)=0.
整理得:(x﹣1)2+(y﹣3)2=2.
∴M的轨迹方程是(x﹣1)2+(y﹣3)2=2.
(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆,
由于|OP|=|OM|,
故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,
从而ON⊥PM.
∵kON=3,
∴直线l的斜率为﹣.
∴直线PM的方程为,即x+3y﹣8=0.
则O到直线l的距离为.
又N到l的距离为,
∴|PM|==.
∴.
20. 是方程的两个不等实根,且,求的解析式及值域。
参考答案:
解:由解得:或,
由韦达定理可得,
(或)
,
所以
略
21. 已知函数的定义域为R.
(1)求a的取值范围.
(2)若该函数的最小值为,解关于x的不等式.
参考答案:
(1)[0,1];(2).
试题分析:
(1)原问题等价于ax2+2ax+1≥0恒成立,分类讨论:当a=0和a≠0两种情况可得a的取值范围是[0,1].
(2)由题意结合(1)的结论可得当x=-1时, f(x)min=,则=,a=,据此可得不等式x2-x-a2-a<0的解集为(-,).
试题解析:
(1)∵函数f(x)=的定义域为R,∴ax2+2ax+1≥0恒成立,分类讨论:
当a=0时,1≥0恒成立.
当a≠0时,要满足题意,则有,解得0
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