天津第三十五中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的最小值为     （     ） 参考答案： B 2. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（  ） A．63．6万元   B．65．5万元    C．67．7万元      D．72．0万元 参考答案： B 试题分析：， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程?y＝?bx+?a中的?b为9.4， ∴42=9.4×3.5+a， ∴=9.1， ∴线性回归方程是y=9.4x+9.1， ∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5 考点：线性回归方程 3. 如果，那么=（  ） A.      B.       C.     D. 参考答案： B 4. 等差数列 的公差不为零，首项 的等比中项，则数列的前10项之        和是 A、90           B、100          C、145             D、190 参考答案： B 5. 在△ABC中，已知，且，则的值是（  ） A. 2 B. C. －2 D. 参考答案： C 【分析】 在中，根据正弦定理，可以把转化为边之间比的关系，可以进一步判断三角形的形状，利用和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出的值. 【详解】在中，设内角所对边，根据正弦定理， 可知,已知，所以，显然是等腰直角三角形，即，，因此有，所以 ，故本题选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点. 6. cos35°cos25°﹣sin145°cos65°的值为（　　） A．﹣ B．cos10° C． D．﹣cos10° 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos35°cos25°﹣sin35°sin25°，再利用两角和的余弦公式化为cos60°，从而得到结论． 【解答】解：cos35°cos25°﹣sin145°cos65°=cos35°cos25°﹣sin35°sin25°=cos（35°+25°）=， 故选：C 7. {an}是等差数列，{bn}是等比数列，且，，， （     ） （A）若，则              （B）若，则 (C)若，则     (D)若，则 参考答案： D 由已知可得 当 ，当,故A错误；去 ，而 ，故B错误；同理 ，当 ，当 ,取 故C错误，故选D.   8. 设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质． 【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可 【解答】解：∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x≥1时函数f（x）=3x﹣1为单调递增函数， ∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）=f（） ∵＜＜＜1 ∴，即 故选B 【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法 9. 函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 参考答案： A 【考点】正弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数． 【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象， 如图所示， 结合图象可得它们的图象的交点个数为 1， 故选：A． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 10. 若是等差数列的前n项和，且,则(     ) A.12        B.18        C.22       D.44 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O、A、B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f[f（3）]的值等于　     　． 参考答案： 2 【考点】函数的值． 【分析】首先根据图形求出f（3）的值，由图形可知f（3）=1，然后根据图形判断出f（1）的值． 【解答】解：由图形可知，f（3）=1，f（1）=2， ∴f[f（3）]=2 故答案为：2 12. 过点引一直线，使其倾斜角为直线的倾斜角的两倍，则该直线的方程是_________________.  参考答案： 略 13. 已知满足的约束条件则的最小值等于               ． 参考答案： 略 14. 已知函数，则的值为  ▲   . 参考答案： －4 由题意得．   15. 已知向量，且，则___________． 参考答案： 【分析】 把平方，将代入，化简即可得结果. 【详解】因为， 所以， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 16. 函数f（x）=+的定义域是        ． 参考答案： {2} 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用开偶次方，被开方数非负，化简求解即可． 【解答】解：要使函数有意义， 则，解得：x=2． 函数的定义域为：{2}． 故答案为：{2}． 【点评】本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查． 17. D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且 ，给出下列命题：①；②； ③；④，其中正确命题的序号为            参考答案： ②③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 已知函数． （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）若函数在区间与上各有一个零点，求的取值范围． 参考答案： 解（1）函数有两个零点，即方程有两个不等实根，             令，即，解得；又，             所以的取值范围为，        （2)若函数在区间与上各有一个零点，由的图像可知，只需                ，  即，解得。 略 19. （12分）（2013江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG∥平面ABC； （2）BC⊥SA． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【专题】空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC； （2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA． 【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点． ∵E、G分别为SA、SC的中点， ∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC． ∵EF?平面ABC，AB?平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC 又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线， ∴平面EFG∥平面ABC； （2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB， AF?平面ASB，AF⊥SB． ∴AF⊥平面SBC． 又∵BC?平面SBC，∴AF⊥BC． ∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB． 又∵SA?平面SAB，∴BC⊥SA． 【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 20. （12分）已知求 参考答案： 略 21. 设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”． （1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由； （2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值； （3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围． 参考答案： (1) 不是一对“K函数”，理由见解析；(2) d＝0  (3) c∈[0，） 【分析】 (1)检验得此时不满足②，所以不是一对“K函数”；（2）利用“K函数”的定义求出；（3）换元法，设t＝﹣cx（x﹣1），根据t的范围，对g（f（x））讨论，求出c的范围. 【详解】（1）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，由f（x）＝x+1＝0，得x＝﹣1， 所以g（f（﹣1））＝g（0）＝1，故x＝﹣1不是g（f（x））的零点，故不满足②，所以不是一对“K函数”， （2）设r为方程的一个根，即f（r）＝0，则由题设得g（f（r））＝0． 于是，g（0）＝g（f（r））＝0，即g（0）＝d＝0． 所以d＝0，反之g（f（x））＝f（x）[f4（x）+bf（x）+cf（x））＝0， 则f（x）＝0成立，故d＝0； （3）因为d＝0，由a＝1，f（1）＝0得b＝﹣c， 所以f（x）＝bx2+cx＝﹣cx（x﹣1），g（f（x））＝f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]， 由f（x）＝0得x＝0，1，可以推得g（f（x））＝0， 根据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点， 故f2（x）﹣cf（x）+c＝0必然无实数根 设t＝﹣cx（x﹣1），则t2﹣ct+c＝0无实数根， 当c＞0时，t＝﹣c（x）2，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t）2+c， 所以h（t）min＝h（）＞0，即，解得c∈（0，）， 当c＜0时，t＝﹣c（x）2，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t）2+c， 所以h（t）min＝h（）＞0，即c，解得c∈（0，4），因为c＜0，显然不成立， 当c＝0时，b＝0，此时f（x）＝0在R上恒成立，g（f（x））＝c＝0也恒成立， 综上：c∈[0，）． 【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查求参数的值和范围，考查了二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，难度较大. 22.