山西省晋中市左权县职业技术中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. .设是非零向量，则是成立的（   ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 参考答案： B 【分析】 是非零向量，，则方向相同，将单位化既有，反之则不成立. 【详解】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量 所以成立;反之不成立. 故选B 【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件；判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决． 2. 已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 参考答案： A 【分析】 以f（x）＝1的特殊情形为突破口，解出x＝1或3或或﹣4，将x+﹣2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论． 【详解】∵函数， 即f（x）＝， 因为当f（x）＝1时，x＝1或3或或﹣4， 则当a＝1时，x+﹣2＝1或3或或﹣4， 又因为 x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4， 所以，当x+﹣2＝﹣4时只有一个x＝﹣2与之对应． 其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根， 当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故有8个根； 当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故有6个根； 综上：不可能有5个根， 故选：A． 【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题． 3. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为     A．              B．             Ｃ．           Ｄ． 参考答案： D 由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，，则，，，又，所以，所以最大的项为，选D. 4. 使奇函数在上为减函数的值为 （　 ） A.      B.     C.       D. 参考答案： B 略 5. 抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：，若，则事件“”的概率是（      ） A． B. C. D. 参考答案： B 6. 函数在区间上的最小值是  （    ）     A．           B．1 C．             D． 参考答案： B 7. 如果等差数列中，，那么(    ) （A）14         （B）21        （C）28        （D）35 参考答案： 8. 函数的图象大致是 参考答案： A 9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（  ）   参考答案： C 略 10. 若M?P，M?Q，P={0，1，2}，Q={0，2，4}，则满足上述条件的集合M的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： A 【考点】子集与真子集． 【分析】由M?P，M?Q，得到M?P∩Q．进而求出答案． 【解答】解：∵M?P，M?Q，∴M?P∩Q． ∵P∩Q={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 而集合{0，2}子集有以下4个：?、{0}、{2}、{0，2}． 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义某种运算的运算原理如图所示，设在区间[-2，2]上的最小值为       。 参考答案： -6 略 12.  设数列中，，则通项 _______。 参考答案： 13. 定义运算符号“”：表示若干个数相乘，例如：．记， 其中为数列中的第项． （1）若，则          ； （2）若，则                       ． 参考答案： （1105；（2） 14. 向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为                                       参考答案： 略 15. 已知数列中，，对于任意，，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求＝　　▲　　　　。 参考答案： 9 16. 已知正数x，y满足2x+y-2 =0，则的最小值为                   ． 参考答案： 17. 已知集合，，则         参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA． （1）求证：平面PAC⊥平面BEF； （2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值． 参考答案： 考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 专题： 综合题． 分析： （1）证明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，从而可得平面PAC⊥平面BEF； （2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG∥平面BEF，则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）． 解答： （1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB， 由∠BCA=90°，可得AC⊥CB， 又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC， ∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE， ∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC， ∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC， ∵BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF； （2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM， ∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG， ∵CG?平面BEF，EF?平面BEF， ∴CG∥平面BEF． 同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF． 则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）． ∵PB⊥底面ABC，CM?平面ABC ∴CM⊥PB， ∵CM⊥AB，PB∩AB=B，∴CM⊥平面PAB， ∵GM?平面PAB，∴CM⊥GM， 而CM为平面CMG与平面ABC的交线， 又AM?底面ABC，GM?平面CMG，∴∠AMG为二面角G﹣CM﹣A的平面角 根据条件可知AM=，AG=， 在△PAB中，cos∠GAM=， 在△AGM中，由余弦定理求得MG=，∴cos∠AMG=， 故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为． 点评： 本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题． 19. 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，点A,B分别在椭圆和上，,求直线AB的方程。 参考答案： 解：（1）由已知可设椭圆的方程为， 其离心率为，故，则 所以椭圆的方程为------------------------------------------------4分 （2）设A,B两点的坐标分别为： 由及（1）知，O,A,B三点共线且点A,B不在轴上， 设A,B的方程为 得：，所以 得：，所以 又由得：，即，解得： 故直线AB的方程为：或----------------------------------------------------12分 略 20. （16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，am（m≥3）依次围成一个圆圈． （1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，am的前n项和Sn（n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{an}的通项公式； （2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，am每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8； （3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数． 参考答案： 考点：等比数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：（1）利用a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，求出d，S3=3a1+3d=15，解得a1=2，可得数列{an}的通项公式； （2）确定an=an﹣1an+1，依此类推a8=a2=b； （3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可． 解答： 解：（1）因a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列， 从而 由S2015=S2013+12a1，a2015+a2014=12a1， 故解得d=3或d=﹣4（舍去） 因此d=3，又S3=3a1+3d=15，解得a1=2 从而当n≤1008时，an=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1 当1006≤n≤2015时，由a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列得（1009≤n≤2015）， 因此 （2）由题意， ∴an=an﹣1an+1， 得，a7=a1=a 依此类推a8=a2=b （3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，                                 得 又， ④故有．⑤ 若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5 若取p=1即m=6k+1，则由此得am=a6k+1=a1， 而由③得，得a2=1， 由②得， 而此推得an=1（1≤n≤m）与题设矛盾， 同理若P=2，3，4，5均可得an=1（1≤n≤m）与题设矛盾， 因此m=6k为6的倍数．（16分） 点评：本题考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，有难度． 21. 如图，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，以AE为折痕将向上折起，D变为，且平面平面. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 参考答案： （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 试题分析：（Ⅰ）根据勾股定理推导出，取的中点，连结，则 ，从而平面，由此证得结论成立；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小. 试题解析：（Ⅰ）证明：∵，， ∴，∴， 取的中点，连结，则， ∵  平面平面， ∴平面，∴ ， 从而平面，∴ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 则、、、， ，从而=（4,0,0），，. 设为平面的法向量， 则可以取 设为平面的法向量， 则可以取 因此，，有，即平面 平面， 故二面角的大小为. 22. （本小题满分12分）已知函数的图象过点，且在处取得极值． (1) 求实数的值； (2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值. 参考答案： （1）当时，，  ……………………………………1分 由题意得：，即，  …………………………………3分 解得：。                             …………………………………5分 （2）由（1）知： ①当时，， 解得；解得或 ∴在和上单减，在上单增， 由得：或，………………………………………6分 ∵　， ∴在上的最大值为. ……………………………………………………8分 ②当时