河北省邯郸市辛庄堡中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数是 A．最小正周期是π的偶函数               B．最小正周期是π的奇函数 C．最小正周期是2π的偶函数              D．最小正周期是2π的奇函数      参考答案： A 略 2. 设0 < α，β <，则α + β =是sin 2 α + sin 2 β = sin 2 ( α + β )成立的（   ） （A）充分不必要条件                （B）必要不充分条件 （C）充要条件                      （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 3. 直线与函数的‘图象相交，则相邻两交点间的距离是 A．                               B. C．                             D． 参考答案： D 4. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 分别判断出、、的范围，然后比较大小即可. 【详解】， ， ， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图像和性质，注意比较大小时与0和1比较，属于基础题. 5. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（     ） A.6 B.5 C.4 D.3 参考答案： D 6. 已知函数，若，则=(     ) A.            B.              C.            D. 参考答案： C 7. 函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域为（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，1） D．（﹣∞，1） 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】根据函数成立的条件进行求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则， 得，即﹣1≤x＜1， 即函数的定义域为[﹣1，1）， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 8. 在全集U中，集合，则在右图中阴影区域表示的集合是（   ） A．   B．    C．   D． 参考答案： D 9. 若直线与两坐标轴的交点分别为A、B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为（      ） A.     B. C.      D. 参考答案： B 略 10. 若定义在区间（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）为减函数，则a的取值范围是(     ) A．（0，） B．（0，] C．（ ，+∞） D．（0，+∞） 参考答案： A 【考点】对数函数的图像与性质． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】根据复合函数单调性同增异减的原则，根据内函数为增函数，可得外函数为减函数，进而得到答案． 【解答】解：∵t=x+1在区间（﹣1，0）内为增函数， 且t=x+1＞0在区间（﹣1，0）内恒成立， 因为函数f（x）=log2a（x+1）在区间（﹣1，0）内为减函数， 故0＜2a＜1， 解得：a∈（0，）， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知平面向量，，若，则x的值为          ． 参考答案： －2 ∵ ，，且 ， ∴， 解得 ．   12. 若集合，，则_____________．    参考答案： 13. 三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________． 参考答案： 14. 集合，则集合中元素的个数为_____________. 参考答案：  7 15. 若函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集为________． 参考答案： (－2,0)∪(0,2) 略 16. f（x）=的定义域为　　． 参考答案： [﹣1，1）∪（1，+∞） 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可． 【解答】解：要使函数f（x）=有意义， 应满足， 即， 解得x≥﹣1且x≠1； 所以函数f（x）的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）． 故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）． 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目． 17. 圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为___________。 参考答案： 2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数为常数）. （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）若，,求函数的值域； （Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围. 参考答案：   略 19. 已知函数f（x）=m﹣是定义在R上的奇函数． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求函数f（x）在（0，1）上的值域． 参考答案： 【考点】函数的值域；函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）由f（x）是定义在R上的奇函数便可得到f（0）=0，从而可得出m=1； （Ⅱ）根据增函数的定义可以判断f（x）在（0，1）上单调递增，从而有f（x）∈（f（0），f（1）），这样便可得出f（x）在（0，1）上的值域． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（0）=0， 即m﹣1=0， ∴m=1； （Ⅱ），x增大时，2x增大，减小，∴增大； ∴f（x）在（0，1）上单调递增； ∴； ∴函数f（x）在（0，1）上的值域为． 【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及增函数的定义，根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法，以及指数函数的单调性． 20. 定义实数a，b间的计算法则如下a△b=． （1）计算2△（3△1）； （2）对0＜x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断x△（y△z）与（x△y）△z的大小，并说明理由； （3）写出函数y=（1△x）+（2△x），x∈R的解析式，作出该函数的图象，并写出该函数单调递增区间和值域（只需要写出结果）． 参考答案： 【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象． 【分析】（1）先求出3△1，再求出2△（3△1）的值即可； （2）分别求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，讨论y2与z的大小即可； （3）讨论x的大小，分x≥2，x＜1，1≤x＜2，求得函数式，画出函数图象，即可得到该函数单调递增区间和值域． 【解答】解：（1）实数a，b间的计算法则如下a△b=． 则2△（3△1）=2△3=32=9； （2）对0＜x＜z＜y的任意实数x，y，z， x△（y△z）=x△y=y2， （x△y）△z=y2△z， 此时若y2≥z，则（x△y）△z=y2； 若y2＜z，则（x△y）△z=z2． 即若y2≥z，则x△（y△z）=（x△y）△z； 若y2＜z，则x△（y△z）＞（x△y）△z． （3）当x＞2时，y=（1△x）+（2△x）=x2+x2=2x2； 当1＜x≤2时，y=（1△x）+（2△x）=x2+2； 当x≤1时，y=（1△x）+（2△x）=1+2=3． 即有y=， 画出函数y的图象，如右： 该函数单调递增区间为（1，2），（2，+∞）； 值域为[3，+∞）． 21. 已知，，其中． (1)求证： 与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)． 参考答案： （1）证明：               与互相垂直 （2）； 而 ， 22. 设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有，且当x>0时，01； （2）判断f(x)在R上的单调性； （3）设集合A＝，B，若A∩B＝，求的取值范围。 参考答案： (1)由f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0， 则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，00，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴f(x)＝>1     …4分 (2)由（1）及已知,对任意实数x都有f(x)>0，             ……5分 设x10，∴0f(1)，∴f(x2+y2)>f(1)，由f(x)单调性知x2+y2<1，…9分 又f(ax－y+2)=1=f(0)，∴ax－y+2=0，                   ……10分 又A∩B＝，无解，即，无解，   …11分 从而．                                    ……12分