山西省晋城市阳城县润城镇中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. .图象的一个对称中心是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 已知复数,是z的共轭复数,则的模等于( )
A B 2 C 1 D
参考答案:
C
3. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 若(其中为虚数单位),则复数的虚部是( )
A.2i B.-2i C.-2 D.2
参考答案:
C
5. (理科)有一道数学题含有两个小题,全做对者得4分,只做对一小题者得2分,不做或全错者得0分。某同学做这道数学题得4分的概率为a,得2分的概率为b,得0分的概率为c,其中,且该同学得分的数学期望的最小值是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
略
6. 若(x6+)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r,对其进行整理,令x的指数为0,建立方程求出n的最小值.
【解答】解:由题意,(x6)n的展开式的项为Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r=Cnr=Cnr
令6n﹣r=0,得n=r,当r=4时,n取到最小值5
故选:C.
【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0,得到n的表达式,推测出它的值.
7. 下列各组函数中表示同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
参考答案:
【知识点】判断两个函数是否为同一函数.B1
【答案解析】D 解析:对于A选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),∴不是同一函数.
对于B选项,由于函数y==x,即两个函数的解析式不同,∴不是同一函数;
对于C选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},∴不是同一函数
对于D选项,f(x)的定义域与g(x)的定义域均为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),且f(x)==x+1,∴是同一函数,故选D.
【思路点拨】若两个函数是同一个函数,则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同,所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可.
8. 对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 函数y=2cosx-1,x∈R的最小值是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
参考答案:
A
10. 双曲线上一点M(3,4)关于一条渐近线的对称点恰为左焦点F1,则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由已知设双曲线的方程为,将带入得
故双曲线方程为,所以选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知}在上是增函数,方程}有实数解,设,且定义在R上的奇函数在内没有最小值,则的取值范围是 。
参考答案:
知识点:利用导数研究函数的单调性;奇函数.
解析 :解:∵}在上是增函数,可得且,即,解得,故,
∵方程}有实数解,,所以可得
∴,∵是定义在R上的奇函数,
∴可得,∴,又在内没有最小值
∴,
若,函数在上是减函数,函数在右端点处取到最小值,不合题意.
若,令,则在D内没有最小值可转化为在内没有最大值,下面对在内的最大值进行研究:
由于,令,可解得,令,可解得,由此知,函数h(x)在是减函数,在上是增函数,
当时,即时,函数在上是减函数,不存在最大值,符合题意
当时,即时,函数在上是增函数,存在最大值,不符合题意
当时,即时,函数在是减函数,在上是增函数,必有成立,才能满足函数在上没有最大值,即有
,解得,符合题意
综上讨论知,m的取值范围是,故答案为.
思路点拨:先确定出集合的范围,求出集合的范围.再根据在内没有最小值,对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定出函数的最小值在区间的左端点取到即可,由于直接研究有一定困难,可将函数变为,构造新函,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题,利用导数工具易确定出新函数的最值,从而解出参数m的取值范围.
典型总结:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解,指数函数的值域及集合的运算.考查了转化的思想及分类讨论的思想,计算的能力,本题综合性强涉及到的知识点较多,属于综合题中的难题.
12. 下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值.若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有__________个.
参考答案:
3
13. 已知向量a=(–1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=______________.
参考答案:
7
由题得
因为
所以
解得
14. 已知数列、都是等差数列,、分别是它们的前项和,且,则的值为_______________.
参考答案:
15. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题:
①若;
②若m、l是异面直线,;
③若;
④若
其中为真命题的是 .
参考答案:
①②④
16. (6分)(2015?浙江模拟)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为 ,单调增区间为 ,= .
参考答案:
2π, [2kπ﹣,2kπ+],.
【考点】: 正弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法.
【专题】: 三角函数的图像与性质.
【分析】: 利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论.
解:f(x)=sinx+cosx=sin(x+),
则函数的周期T==2π,
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z,
故函数的递增区间为[2kπ﹣,2kπ+],
f()=sin(+)=sin==,
故答案为:2π,[2kπ﹣,2kπ+],.
【点评】: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键.
17. 已知样本方差,则样本的方差为 .
参考答案:
8
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,BC⊥平面PAB,AB=BC=PB,∠APB=30°,M为PB的中点。
(1)求证:PD∥平面AMC;
(2)求锐二面角B-AC-M的余弦值。
参考答案:
(1)详见解析. (2).
解:(1)证明:连接,设与相交于点,连接,
??∵?四边形是平行四边形,∴点为的中点. ………… 2分????????
∵为的中点,∴为的中位线,
∴//.????????? ………… 4分
∵,
∴//.????? ……………6分
在中,.
∴?二面角的余弦值为.???? ………… 14分
考点:线面平行判定定理,二面角的求法.
19. 某大楼共5层,4个人从第一层上电梯,假设每个人都等可能地在每一层下电梯,并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.
(Ⅰ)求某乘客在第层下电梯的概率;
(Ⅱ)求电梯在第2层停下的概率;
(Ⅲ)求电梯停下的次数的数学期望.
参考答案:
解:(Ⅰ); (Ⅱ)
(Ⅲ)可取1、2、3、4四种值 ; ;
;
故的分布列如下表:
∴
1
2
3
4
20. 已知函数.
(1)当时,讨论导函数的零点个数;
(2)当时,证明:.
参考答案:
(1)见解析;(2)见证明
【分析】
(1)对求导,利用导数判断函数的单调性,由,判断的正负,利用零点存在定理可得结果.
(3)利用(1)设的极小值点为,得,且,只需判断.将变形,,利用基本不等式可证.
【详解】解:(1)函数的定义域为,因为,
所以,所以在上为增函数,
又因为,所以,,所以在上存在唯一的零点.
(2)由(1)可知:在上存在唯一的零点,设该零点为,则,当时,,当时,,所以在处取得最小值,由得,所以,,
所以,
由得,
所以,
而,
当时,取“=”,而,所以,
所以,即.
【点睛】本题考查函数导数的应用,利用导数研究函数的单调性,极值,结合零点存在定理研究复杂函数的零点,考查不等式恒成立问题,考查等价变形能力、运算能力,属于难题.
21. 不等式选讲
已知a,b都是正实数,且
(I)求证:; (II)求的最小值.
参考答案:
(I)略(II) 解析:解:(I)证明:
(II) ,即又得即
当且仅当上式等号成立.
略
22. (本小题满分12分)
就餐时吃光盘子里的东西或打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘族”.某班几位同学组成研究性学习小组,从某社区岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查.得到如下统计表:
组数
分组
频数
频率
光盘占本组的比例
第一组
50
0.05
30%
第二组
100
0.1
30%
第三组
150
0.15
40%
第四组
200
0.2
50%
第五组
a
b
65%
第六组
200
0.2
60%
(1)求a、b的值并估计本社区岁的人群中“光盘族”人数所占的比例;
(2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动,并从8人中选取2个人作为领队,求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。
参考答案:
解:
第一组人数为50,频率为0.05,所以抽查的总人数n=人,
第五组频率为b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.15)=0.3
第五组人数a=300人
抽取的样本中“光盘族”比例为﹪ ……………6分
应用分层抽样:在年龄段人数为150×40%=60人,在年龄段人数为200×50%=100人,两组人数比例为3:5,抽取的8人中在组有3人,在有5人,抽取2人总的抽样方法为28种,概率 …12分