广西壮族自治区柳州市三江侗族自治县和平乡中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若将函数y=2sin（4x+?）的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则|?|的最小值是( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】常规题型；三角函数的图像与性质．
【分析】先根据左加右减的原则将函数y=2sin（4x+?）的图象向右平移个单位，然后根据图象关于y轴对称，知函数为偶函数，结合诱导公式求出|?|的最小值．
【解答】解：将函数y=2sin（4x+?）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为，
又图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数，
故，即，
所以|φ|的最小值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数图象的平移及三角函数的性质，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．三角函数奇偶性的转化结合诱导公式实现．
2. 若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的离心率求出m=2，然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．
【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，
∵双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，
∴=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，
则双曲线N：x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x，
故选：A
3. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（ ）
A．已知圆的半径求圆的面积
B．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性
C．已知坐标平面内两点求直线方程
D．加减乘除法运算法则
参考答案：
B
4. 直线x=﹣和圆x2+y2+6x+8=0相切，则实数p=（ ）
A．p=4 B．p=8 C．p=4或p=8 D．p=2或p=4
参考答案：
C
【考点】圆的切线方程．
【分析】求出圆的圆心、半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列式，解之即可得到实数p的值．
【解答】解：将圆x2+y2+6x+8=0化成标准方程，得（x+3）2+y2=1，圆心为C（﹣3，0），半径r=1．
∵直线x=﹣和圆x2+y2+6x+8=0相切，
∴点C到直线x=﹣的距离等于半径，即|﹣+3|=1，
解之得p=4或p=8．
故选C．
5. 已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
参考答案：
A
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集，所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数．
【解答】解：因为A∪B={1，2}=A，所以B?A，
而集合A的子集有：?，{1}，{2}，{1，2}共4个，所以集合B有4个．
故选A
【点评】本题重在理解A∪B=A表明B是A的子集，同时要求学生会求一个集合的子集．
6. 正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶2
参考答案：
C
略
7. 下列说法错误的是( )
A．如果命题“?p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题 “若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：?x0∈R，x02＋2x0－3<0，则?p：?x∈R，x2＋2x－3≥0
D．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
参考答案：
D
略
8. 函数的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
参考答案：
B
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的范围，从而可得函数的单调递增区间．
【解答】解：f′（x）=a?，（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，
故f（x）在（﹣1，1）递增，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握．
9. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜bcosA，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
参考答案：
A
【考点】三角形的形状判断．
【专题】解三角形．
【分析】依题意，可得sinC＜sinBcosA，利用两角和的正弦整理得sinAcosB＜0，从而可判断B为钝角．
【解答】解：△ABC中，∵c＜bcosA，
∴sinC＜sinBcosA，
即sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，
∴sinAcosB＜0，sinA＞0，
∴cosB＜0，B为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与两角和的正弦，属于中档题．
10. 执行右图的程序框图，若输出的，
则输入整数的最大值是（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有个座位连成一排，人就坐，要求恰有两个空位相邻，则不同的坐法有 种（用数字作答）．
参考答案：
略
12. 如图，已知点,点在曲线上，若阴影部分面积与△面积相等时，则 ．
参考答案：
13. 函数的单调递减区间为_____________；
参考答案：
14. 点是曲线C：为参数，上任意一点，则的取值范围是
参考答案：
15. 等比数列{an}的前n项和是Sn，若，则{an}的公比等于________.
参考答案：
16. .函数的极值是__________.
参考答案：
.
【分析】
对函数求导，并求出极值点，分析该函数的单调性，再将极值点代入函数解析式可得出函数的极值.
【详解】函数的定义域为，，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数的极小值为，故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，解题时要熟悉求函数极值的基本步骤，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
17. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 不等式．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）．
（1）不等式的解集是，
方程的两个根为，，，．
（2）①时，显然不满足题意，
②时，，解得，综上．
19. (12分)在平面直角坐标系中,已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积;
（2）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:O到直线MN的距离是定值.
参考答案：
（1）双曲线,左顶点,渐近线方程:. 1分
过点A与渐近线平行的直线方程为
,即. 2分
解方程组,得 3分
所求三角形的面积为 5分
(2)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.6分
当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.
由,得,
所以. 同理 10分
设O到直线MN的距离为d,因为
, 11分
所以,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值。 12分
20. 观察（1）
（2）
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。
参考答案：
若都不是，且，则
21. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为，
则有，解得，所以椭圆C的方程为．…………………5分
（Ⅱ）假设存在点满足条件，则．
设，，，联立方程，得，
，，…………………9分
由，得，即，
综上所述，存在点，使直线AD与BD关于y轴对称．…………………12分
22. （14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
参考答案：
(1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴ PD⊥BC．----------------------------------------------------------1分
∴平面PBC⊥平面PCD．
∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC．
又 ∴ 平面PBC∩平面PCD＝PC，
∴ DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．
(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．
∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°．
由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积
V＝S△ABC·PD＝．
∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．
又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．
∵ VA - PBC＝VP - ABC，∴ S△PBC·h＝V＝，得h＝．
故点A到平面PBC的距离等于．