2022-2023学年广东省清远市禾洞中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若,则( )
A. 60 B. 75 C. 90 D. 105
参考答案:
B
【分析】
由条件,利用等差数列下标和性质可得,进而得到结果.
【详解】,即,而,故选B.
【点睛】本题考查等差数列的性质,考查运算能力与推理能力,属于中档题.
2. 若为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( )
A B C D
参考答案:
A
略
3. 已知为三角形内角,且,若,则关于的形状的判断,正确的是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.三种形状都有可能
参考答案:
C
4. (5分)定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则()
A. f(3)<f(2)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(3) C. f(2)<f(1)<f(3) D. f(3)<f(1)<f(0)
参考答案:
D
考点: 函数单调性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数单调性的等价条件,即可到底结论.
解答: 若对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,
则函数f(x)满足在[0,+∞)上单调递减,
则f(3)<f(1)<f(0),
故选:D.
点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数单调性的等价条件是解决本题的关键.
5. 曲线、直线、以及轴所围成的封闭图形的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:因,故
,故应选D.
考点:定积分的概念与计算.
6. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
先用消去式子中的,再用二倍角公式可进一步对式子进行化简即得。
【详解】由题得原式,,,
,故选B。
【点睛】本题主要考查二倍角公式的运用,在开二次根号时需要注意开出的数必须为正数。
7. 设且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
A项,由得到,则,故A项正确;
B项,当时,该不等式不成立,故B项错误;
C项,当,时,,即不等式不成立,故C项错误;
D项,当,时,,即不等式不成立,故D项错误.
综上所述,故选A.
8. 下列函数中,最小值为4的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
9. (5分)在如图所示的边长为6的正方形ABCD中,点E是DC的中点,且=,那么?等于()
A. ﹣18 B. 20 C. 12 D. ﹣15
参考答案:
D
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: 运用中点向量表示形式和向量加法的三角形法则可得=﹣,再由向量的数量积的性质,向量的平方即为模的平方,及向量垂直的条件:数量积为0,计算即可得到结论.
解答: 解:在△CEF中,=+,
由于点E为DC的中点,则=,
由=,则=+=+=﹣,
即有=(﹣)?(+)=﹣+
=(﹣)×62+0=﹣15.
故选D.
点评: 本题考查平面向量的数量积的性质,考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方,考查中点向量表示形式,考查运算能力,属于中档题.
10. 如图,在中,,,是的中点,则().
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
∵是边的中点,
∴,
∴.
故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,三个内角A,B,C对应三边长分别为a,b,c.若C=3B,的取值范围________.
参考答案:
(1,3)
12. 已知,则的值是
参考答案:
13. 分解因式____ __________;
参考答案:
14. 下列各组函数中,是同一个函数的有__________.(填写序号)
①与 ②与
③与 ④与
参考答案:
略
15. 直线的倾斜角是 .
参考答案:
略
16. 已知函数,g(x)=x﹣3,,则f(x)g(x)+h(x)= .
参考答案:
x(x≠±3)
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】先求出函数的定义域,再化简函数的解析式,可得答案.
【解答】解:由得:x≠±3,
又∵函数,g(x)=x﹣3,,
∴f(x)g(x)+h(x)=+=x(x≠±3),
故答案为:x(x≠±3)
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解与化简,要注意函数定义域的限制.
17. 已知函数为幂函数,则__________.
参考答案:
16
【分析】
根据幂函数的定义求出m的值,写出的解析式,即可计算的值.
【详解】由题意,函数为幂函数,,解得,
,,
故答案为:16.
【点睛】本题考查了幂函数的定义,及幂函数的求值问题,其中解答中熟记幂函数的定义,用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)判断函数的奇偶性,并加以证明。
参考答案:
(12分)判断函数的奇偶性,并加以证明。
略
19. (本题满分12分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)判断函数的单调性,并用定义证明;
(2)若对于任意都有成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)因为在定义域为上是奇函数,所以=0,
即
又由,即 .......4分
(2)由(1)知,
任取,设则
因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0
又>0 ∴>0即
∴在上为减函数. .......8分
(3)因是奇函数,从而不等式:
等价于,……….….8分
因为减函数,由上式推得:.
即对一切有:恒成立, .......10分
设,令,
则有,
,即k的取值范围为。 .......12分
20. 利用三角函数线证明:|sinα|+|cosα|≥1.
参考答案:
证明:当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,
而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1),
所以|sinα|+|cosα|=1.
当角α的终边落在四个象限时,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,过P作PM⊥x轴于点M(如图),
则|sinα|=|MP|,|cosα|=|OM|,利用三角形两边之和大于第三边有:|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,
综上有|sinα|+|cosα|≥1.
21. 如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2, =5,
(1)若=﹣+,求证:点F为DE的中点;
(2)在(1)的条件下,求?的值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义.
【分析】(1)用,表示出,即可得出结论;
(2)用表示出,再计算?.
【解答】解:(1)∵=﹣+,∴==+,
又=2, =5,∴=+,
∴F为DE的中点.
(2)由(1)可得==(),
∵=2, =5,∴=﹣.
∴=﹣?(﹣)=﹣+
=﹣×4+×2×6×cos60°=﹣.
22. 已知,,求值:
(1) (2) (3);
参考答案:
解:(1)
∴
(2)∵
∵,∴,∴
(3)由,得∴,,
∴
略