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湖南省永州市白牙市镇中学2022年高二数学理测试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知则“”是“”的(   )   A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充要条件   D.既不充分也不必要条件   参考答案: B 2. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 参考答案: D 试题分析:以D点为坐标原点,以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),(0,2,1) ∴=(-2,0,1),=(-2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量. ∴.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 考点:直线与平面所成的角   3. 将一枚质地均匀的硬币抛掷三次,设X为正面向上的次数,则 等于(  ) A.           B.0.25            C.0.75               D.0.5 参考答案: C 略 4. 用系统抽样法从120个零件中,抽取容量为20的样本,则每个个体被抽取到的概率是(  ) A. B. C. D. 参考答案: D 【考点】简单随机抽样;系统抽样方法. 【分析】由题意知,本题是一个系统抽样,在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,系统抽样法从120个零件中,抽取容量为20的样本,求比值得到每个个体被抽取到的概率. 【解答】解:∵系统抽样法从120个零件中,抽取容量为20的样本 ∴每个个体被抽取到的概率是=, 故选D. 5. 直线经过一定点,则该点的坐标是(     ) A.        B.      C.      D. 参考答案: A 略 6. 设函数g(x)是R上的偶函数,当x<0时,g(x)=ln(1﹣x),函数满足f(2﹣x2)>f(x),则实数x的取值范围是(  ) A.(﹣∞,1)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C.(1,2) D.(﹣2,1) 参考答案: D 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】判断函数的单调性,转化不等式为代数不等式,求解即可. 【解答】解:当x≤0时,f(x)=x3,是增函数,并且f(x)≤f(0)=0; 当x<0时, g(x)=ln(1﹣x)函数是减函数,函数g(x)是R上的偶函数,x>0,g(x)是增函数, 并且g(x)>g(0)=0,故函数f(x)在R是增函数, f(2﹣x2)>f(x), 可得:2﹣x2>x,解得﹣2<x<1. 故选:D.   7. 若幂函数的图象经过点,则该函数在点A处的切线方程为   (     ) A.      B. C.       D. 参考答案: B 略 8. 若函数在上单调递减,则实数的取值范围为(    )    A.      B.      C.     D. 参考答案: A 9. 若复数(i是虚数单位),则(    ) A. B. C. D. 参考答案: B . ,故选B. 10. 复数z满足(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案: A 由题意得,,则复数在复平面内对应的点位于第一象限,故选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若执行如下图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=3,=2,则输出的数等于________. 参考答案: 12. 对于以下结论: ①.对于是奇函数,则; ②.已知:事件是对立事件;:事件是互斥事件;则是的必要但不充分条件; ③.若,,则在上的投影为; ④.(为自然对数的底); ⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位,再向下平移1个单位而来. 其中,正确结论的序号为__________________. 参考答案: ③④⑤   13. 已知的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为           。 参考答案: 14. 某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元),有如下表所示的统计资料: 使用年限x(年) 2 3 4 5 6 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由资料知y对x呈线性相关关系,则其回归直线方程y=bx+a为________________ (其中) 参考答案: y=1.23x+0.08 15. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的  条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个) 参考答案: 必要不充分 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 结合直线的位置关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:两条直线不相交,则两条直线可能是平行直线或是异面直线, 若两条直线是异面直线,则两条直线是异面直线, ∴“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用空间两条直线的位置关系是解决本题的关键. 16. ___________ 参考答案: 略 17. 如图,圆O:x2+ y2=内的正弦曲线y= sinx与x轴围成的 区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点P,则 点P落在区域内的概率是_________ 参考答案: 略 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. 设f(x)= (1)求函数f(x)的单调递增,递减区间; (2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数的取值范围. 参考答案: 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)先求出函数f(x)的导数,令导函数大于0,求出增区间,令导函数小于零,求出减区间; (2)恒成立问题可转化成f(x)max<m即可可.函数在[﹣1,2]上的最大值,利用极值与端点的函数值可以确定. 【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣x﹣2,令f′(x)=0,解得x=1或﹣, 令f′(x)>0,解得x∈(﹣∞,﹣),(1,+∞), 令f′(x)<0,解得x∈(﹣,1), f(x)的单调递增为(﹣∞,﹣),(1,+∞),递减区间为(﹣,1). (2))∵f(﹣1)=5,f(﹣)=5,f(1)=3,f(2)=7; 即f(x)max=7, 要使x∈[﹣1,2]时,f(x)<m恒成立,即f(x)max<m, ∴m>7, 故实数m的取值范围为(7,+∞). 19. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. (1)求n的值; (2)求的展开式中项的系数; (3)求展开式中的常数项. 参考答案: (1)5. (2)80. (3)-30. 分析:(1)由二项展开式的二项式系数和为求解即可.(2)由(1)得到二项展开式的通项后求解.(3)根据展开式的通项并结合组合的方法求解. 详解:(1)由题意结合二项式系数的性质可得, 解得. (2)由题意得的通项公式为, 令,解得, 所以的展开式中项的系数为. (3)由(2)知,展开式的通项为, 令,解得; 令,解得. 故展开式中常数项为. 点睛:(1)求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围(=0,1,2,…,n). (2)使用二项式的通项公式时要注意:①通项公式表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项公式中a和b的位置不能颠倒. 20. 已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点M(-2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程. 参考答案: 略 21. 已知函数. (1)若是函数的极值点,试求实数a的值并求函数的单调区间; (2)若恒成立,试求实数a的取值范围. 参考答案: (1)1, 函数的单调减区间为函数的单调增区间为;(2). 【分析】 (1)先写出函数的定义域,求出函数的导函数,计算,求出的值即可;再解不等式和,进而求得函数的单调区间; (2)由恒成立,得到恒成立,即,再令,应用导数求得其最大值,得到结果. 【详解】(1)函数的定义域为 又,由题意,, 当时,令得,令得, 所以函数的单调减区间为函数的单调增区间为, 此时函数取极小值故符合题意; (2)由恒成立得恒成立,又定义域为, 所以恒成立即, 令则,令得所以函数在上单调增,在单调减,函数, 所以. 【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有利用极值点求参数,应用导数研究函数的单调性,应用导数研究恒成立问题,属于中档题目. 22. 在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程. 参考答案: 略
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