湖南省永州市白牙市镇中学2022年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知则“”是“”的（   ）   A．充分不必要条件   B．必要不充分条件 C．充要条件   D．既不充分也不必要条件   参考答案： B 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1） ∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 考点：直线与平面所成的角   3. 将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，设X为正面向上的次数，则 等于（  ） A．           B．0.25            C．0.75               D．0.5 参考答案： C 略 4. 用系统抽样法从120个零件中，抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取到的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】简单随机抽样；系统抽样方法． 【分析】由题意知，本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，系统抽样法从120个零件中，抽取容量为20的样本，求比值得到每个个体被抽取到的概率． 【解答】解：∵系统抽样法从120个零件中，抽取容量为20的样本 ∴每个个体被抽取到的概率是=， 故选D． 5. 直线经过一定点，则该点的坐标是（     ） A.        B．      C．      D． 参考答案： A 略 6. 设函数g（x）是R上的偶函数，当x＜0时，g（x）=ln（1﹣x），函数满足f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（1，2） D．（﹣2，1） 参考答案： D 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】判断函数的单调性，转化不等式为代数不等式，求解即可． 【解答】解：当x≤0时，f（x）=x3，是增函数，并且f（x）≤f（0）=0； 当x＜0时， g（x）=ln（1﹣x）函数是减函数，函数g（x）是R上的偶函数，x＞0，g（x）是增函数， 并且g（x）＞g（0）=0，故函数f（x）在R是增函数， f（2﹣x2）＞f（x）， 可得：2﹣x2＞x，解得﹣2＜x＜1． 故选：D． 　 7. 若幂函数的图象经过点，则该函数在点A处的切线方程为   （     ） A.      B. C.       D. 参考答案： B 略 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）    A.      B.      C.     D. 参考答案： A 9. 若复数（i是虚数单位），则（    ） A. B. C. D. 参考答案： B . ,故选B. 10. 复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 由题意得，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________． 参考答案： 12. 对于以下结论： ①.对于是奇函数，则； ②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件； ③.若，，则在上的投影为； ④.(为自然对数的底)； ⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来. 其中，正确结论的序号为__________________. 参考答案： ③④⑤   13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为           。 参考答案： 14. 某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如下表所示的统计资料： 使用年限x（年） 2 3 4 5 6 维修费用y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由资料知y对x呈线性相关关系，则其回归直线方程y=bx+a为________________ (其中） 参考答案： y=1.23x+0.08 15. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的　　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个） 参考答案： 必要不充分 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 规律型． 分析： 结合直线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 解答： 解：两条直线不相交，则两条直线可能是平行直线或是异面直线， 若两条直线是异面直线，则两条直线是异面直线， ∴“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间两条直线的位置关系是解决本题的关键． 16. ___________ 参考答案： 略 17. 如图，圆O:x2+ y2=内的正弦曲线y= sinx与x轴围成的 区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点P，则 点P落在区域内的概率是_________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设f（x）= （1）求函数f（x）的单调递增，递减区间； （2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，令导函数大于0，求出增区间，令导函数小于零，求出减区间； （2）恒成立问题可转化成f（x）max＜m即可可．函数在[﹣1，2]上的最大值，利用极值与端点的函数值可以确定． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣x﹣2，令f′（x）=0，解得x=1或﹣， 令f′（x）＞0，解得x∈（﹣∞，﹣），（1，+∞）， 令f′（x）＜0，解得x∈（﹣，1）， f（x）的单调递增为（﹣∞，﹣），（1，+∞），递减区间为（﹣，1）． （2））∵f（﹣1）=5，f（﹣）=5，f（1）=3，f（2）=7； 即f（x）max=7， 要使x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，即f（x）max＜m， ∴m＞7， 故实数m的取值范围为（7，+∞）． 19. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求n的值； (2)求的展开式中项的系数； (3)求展开式中的常数项． 参考答案： (1)5. (2)80. (3)－30. 分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据展开式的通项并结合组合的方法求解． 详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得， 解得． （2）由题意得的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式中项的系数为． （3）由（2）知，展开式的通项为， 令，解得； 令，解得． 故展开式中常数项为． 点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将的值代回通项求解，注意的取值范围(＝0，1，2，…，n)． （2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r＋1项，而不是第r项；②通项公式中a和b的位置不能颠倒． 20. 已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程． 参考答案： 略 21. 已知函数. （1）若是函数的极值点，试求实数a的值并求函数的单调区间； （2）若恒成立，试求实数a的取值范围. 参考答案： （1）1, 函数的单调减区间为函数的单调增区间为；（2）. 【分析】 （1）先写出函数的定义域，求出函数的导函数，计算，求出的值即可；再解不等式和，进而求得函数的单调区间； （2）由恒成立，得到恒成立，即，再令，应用导数求得其最大值，得到结果. 【详解】（1）函数的定义域为 又，由题意，， 当时，令得，令得， 所以函数的单调减区间为函数的单调增区间为， 此时函数取极小值故符合题意； （2）由恒成立得恒成立，又定义域为， 所以恒成立即， 令则，令得所以函数在上单调增，在单调减，函数， 所以. 【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用极值点求参数，应用导数研究函数的单调性，应用导数研究恒成立问题，属于中档题目. 22. 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程． 参考答案： 略