北京张家湾中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线的斜率是（　　） 　 A． B． 1 C． 2 D． 3 参考答案： C 2. O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积． 【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x ∴2p=4，可得=，得焦点F（） 设P（m，n） 根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4， 即m+=4，解得m=3 ∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24 ∴n== ∵|OF|= ∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2 故选：C 3. 设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为（   ） A.         B.             C.    D. 参考答案： C 4. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下： 0 1 2 3 4 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7          且回归方程是的预测值为（      ）        A．8.1                                    B．8.2                                 C．8.3                                  D．8.4 参考答案： C 5. 双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（         ）        A．2        （B）      （C）      （D） 参考答案： C 6. 在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点 E，F，G，H，若EH、FG所在直线相交于点P，则(   ) A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面DBC外             D．点P必在平面ABC内 参考答案： B 略 7. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为 (  ) A.       B.     C.     D. 参考答案： D 8. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 （   ） A．       B．     C．       D． 参考答案： D 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（     ）  A.3     B.2      C.1     D.0 参考答案： C 10. 命题“?x∈R，x2+4x+5≤0”的否定是(     ) A．?x∈R，x2+4x+5＞0 B．?x∈R，x2+4x+5≤0 C．?x∈R，x2+4x+5＞0 D．?x∈R，x2+4x+5≤0 参考答案： C 考点：特称命题；命题的否定． 专题：规律型． 分析：根据命题的否定规则，将量词否定，结论否定，即可得到结论． 解答：解：将量词否定，结论否定，可得命题“?x∈R，x2+4x+5≤0”的否定是：“?x∈R，x2+4x+5＞0” 故选C． 点评：本题重点考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定规则，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为，则三角形面积为”，拓展到空间几何，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为，内切球的半径为R，则四面体的体积为____________________________”. 参考答案：    12. 直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若，则此球的表面积为                             ． 参考答案： 13. 设函数，利用课本推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为     ▲  ． 参考答案： 略 14. 设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为　　． 参考答案： 102 【考点】数列的求和． 【分析】据“理想数”的定义，列出a1，a2，…，a100的“理想数”满足的等式及2，a1，a2，…，a100的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”． 【解答】解：∵为数列a1，a2，…，an的“理想数”， ∵a1，a2，…，a100的“理想数”为101 ∴ 又数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为： = 故答案为102 【点评】本题考查的是新定义的题型，关键是理解透新定义的内容，是近几年常考的题型． 15. 设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是　　　　　． 参考答案： 略 16. 设P是曲线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为    ********    .　 参考答案： 17. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为      ． 参考答案： 4π 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】转化思想；数形结合法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据椭圆的方程，算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10．设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|?|PF2|=48，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求内切圆的面积． 【解答】解：∵椭圆， ∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5， 设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100， 可得2mn=96，即mn=48， ∴|PF1|?|PF2|=48， ∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°， ∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=×48=24， 由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r为内切圆的半径）， 由12r=24，解得r=2，则所求内切圆的面积为4π． 故答案为：4π． 【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）    已知四边形中，为的中点；现将沿对角线折起，使点D在平面上的射影落在上。 （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积。 参考答案： 19. 、已知｛｝是正数组成的数列, =1,且点(, )(n∈)在函数y=x+1的图象上, (1) 求数列｛｝的通项公式. (2) 若数列｛｝满足=1, =  +  ,求证: .<    (14分) 参考答案： 20. 已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值． （1）求常数k的值； （2）求函数f（x）的单调区间与极值； （3）设g（x）=f（x）+c，且?x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围． 参考答案： 【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】计算题． 【分析】（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可． （2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x（x﹣4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极小值即可． （3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（﹣1）和g（2）其中较小的即为g（x）的最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围． 【解答】解：（1）f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4处取得极值， ∴f'（0）=0，f'（4）=0， 可求得…（2分） （2）由（1）可知，f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞） f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x）   极大值   极小值   ∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；      …（4分） ∴极大值为，极小值为…（5分） （3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1 由（2）得：…（6分） ∴， ∴…（8分） 【点评】考查学生会利用导数研究函数的单调性、会利用导数研究函数的极值，掌握不等式恒成立时所取的条件．以及会求一元二次不等式的解集．做题时学生应掌握转化的方法变形． 21. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （1）.任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率（用数字作答）； （2）.任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和数学       期望．   参考答案： 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A， “该人参加过计算机培训”为事件B， 由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75．…………………2分 （1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是                                          …………………4分 根据事件的对立事件得到该人参加过培训的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9．……………6分 （2）∵每个人的选择是相互独立的， ∴3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B（3，0.9），…………………8分 即ξ的分布列是P（ξ=k）=C3k×0.9k×0.13-k，k=0，1，2，3，…………………10分 ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7…………………………………12分   略 22. 实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1. 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．       （12分） 参考答案： 略