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北京张家湾中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. .函数f(x)=x3﹣x2+x+1在点(1,2)处的切线的斜率是(  )   A. B. 1 C. 2 D. 3 参考答案: C 2. O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(  ) A.2 B.2 C.2 D.4 参考答案: C 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线方程,算出焦点F坐标为().设P(m,n),由抛物线的定义结合|PF|=4,算出m=3,从而得到n=,得到△POF的边OF上的高等于2,最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积. 【解答】解:∵抛物线C的方程为y2=4x ∴2p=4,可得=,得焦点F() 设P(m,n) 根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4, 即m+=4,解得m=3 ∵点P在抛物线C上,得n2=4×3=24 ∴n== ∵|OF|= ∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2 故选:C 3. 设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为(   ) A.         B.             C.    D. 参考答案: C 4. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下: 0 1 2 3 4 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7          且回归方程是的预测值为(      )        A.8.1                                    B.8.2                                 C.8.3                                  D.8.4 参考答案: C 5. 双曲线的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是(         )        A.2        (B)      (C)      (D) 参考答案: C 6. 在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点 E,F,G,H,若EH、FG所在直线相交于点P,则(   ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面DBC外             D.点P必在平面ABC内 参考答案: B 略 7. 已知函数满足,且的导函数,则的解集为 (  ) A.       B.     C.     D. 参考答案: D 8. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为 (   ) A.       B.     C.       D. 参考答案: D 9. 已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是(     )  A.3     B.2      C.1     D.0 参考答案: C 10. 命题“?x∈R,x2+4x+5≤0”的否定是(     ) A.?x∈R,x2+4x+5>0 B.?x∈R,x2+4x+5≤0 C.?x∈R,x2+4x+5>0 D.?x∈R,x2+4x+5≤0 参考答案: C 考点:特称命题;命题的否定. 专题:规律型. 分析:根据命题的否定规则,将量词否定,结论否定,即可得到结论. 解答:解:将量词否定,结论否定,可得命题“?x∈R,x2+4x+5≤0”的否定是:“?x∈R,x2+4x+5>0” 故选C. 点评:本题重点考查命题的否定,解题的关键是掌握命题的否定规则,属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面几何里,有“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为,则三角形面积为”,拓展到空间几何,类比上述结论,“若四面体ABCD的四个面的面积分别为,内切球的半径为R,则四面体的体积为____________________________”. 参考答案:    12. 直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上,若,则此球的表面积为                             . 参考答案: 13. 设函数,利用课本推导等差数列前项和公式的方法,可求得的值为     ▲  . 参考答案: 略 14. 设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=,称Tn为数列a1,a2,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,…,a100的“理想数”为101,那么数列2,a1,a2,…,a100的“理想数”为  . 参考答案: 102 【考点】数列的求和. 【分析】据“理想数”的定义,列出a1,a2,…,a100的“理想数”满足的等式及2,a1,a2,…,a100的“理想数”的式子,两个式子结合求出数列2,a1,a2,…,a100的“理想数”. 【解答】解:∵为数列a1,a2,…,an的“理想数”, ∵a1,a2,…,a100的“理想数”为101 ∴ 又数列2,a1,a2,…,a100的“理想数”为: = 故答案为102 【点评】本题考查的是新定义的题型,关键是理解透新定义的内容,是近几年常考的题型. 15. 设,若函数有大于零的极值点,则实数的取值范围是     . 参考答案: 略 16. 设P是曲线上的一个动点,则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为    ********    .  参考答案: 17. 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,C上一点P满足,则△PF1F2的内切圆面积为      . 参考答案: 4π 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;数形结合法;解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆的方程,算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10.设|PF1|=m,|PF2|=n,根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组,平方相减即可求出|PF1|?|PF2|=48,结合直角三角形的面积公式,可得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=24,再由S=r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|),求得r,即可得到所求内切圆的面积. 【解答】解:∵椭圆, ∴a2=49,b2=24,可得c2=a2﹣b2=25,即a=7,c=5, 设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m+n=2a=14,m2+n2=(2c)2=100, 可得2mn=96,即mn=48, ∴|PF1|?|PF2|=48, ∵PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=×48=24, 由S=r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=r?(2a+2c)=12r(r为内切圆的半径), 由12r=24,解得r=2,则所求内切圆的面积为4π. 故答案为:4π. 【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形,求它的面积,着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识,属于基础题. 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)    已知四边形中,为的中点;现将沿对角线折起,使点D在平面上的射影落在上。 (1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)求三棱锥的体积。 参考答案: 19. 、已知{}是正数组成的数列, =1,且点(, )(n∈)在函数y=x+1的图象上, (1) 求数列{}的通项公式. (2) 若数列{}满足=1, =  +  ,求证: .<    (14分) 参考答案: 20. 已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0,x=4处取得极值. (1)求常数k的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值; (3)设g(x)=f(x)+c,且?x∈[﹣1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围. 参考答案: 【考点】函数在某点取得极值的条件;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】计算题. 【分析】(1)因为函数两个极值点已知,令f′(x)=3kx2+6(k﹣1)x=0,把0和4代入求出k即可. (2)利用函数的导数确定函数的单调区间,f′(x)=3kx2+6(k﹣1)x=x2﹣4x=x(x﹣4)大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可,把函数导数为0的x值代到f(x)中,通过表格,判断极大、极小值即可. (3)要使命题成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1,由(2)得:g(﹣1)和g(2)其中较小的即为g(x)的最小值,列出不等关系即可求得c的取值范围. 【解答】解:(1)f'(x)=3kx2+6(k﹣1)x,由于在x=0,x=4处取得极值, ∴f'(0)=0,f'(4)=0, 可求得…(2分) (2)由(1)可知,f'(x)=x2﹣4x=x(x﹣4),f'(x),f(x)随x的变化情况如下表: x (﹣∞,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞) f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x)   极大值   极小值   ∴当x<0或x>4,f(x)为增函数,0≤x≤4,f(x)为减函数;      …(4分) ∴极大值为,极小值为…(5分) (3)要使命题成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1 由(2)得:…(6分) ∴, ∴…(8分) 【点评】考查学生会利用导数研究函数的单调性、会利用导数研究函数的极值,掌握不等式恒成立时所取的条件.以及会求一元二次不等式的解集.做题时学生应掌握转化的方法变形. 21. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1).任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率(用数字作答); (2).任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列和数学       期望.   参考答案: 解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A, “该人参加过计算机培训”为事件B, 由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.…………………2分 (1)任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是                                          …………………4分 根据事件的对立事件得到该人参加过培训的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9.……………6分 (2)∵每个人的选择是相互独立的, ∴3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9),…………………8分 即ξ的分布列是P(ξ=k)=C3k×0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,…………………10分 ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7…………………………………12分   略 22. 实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1. 求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.       (12分) 参考答案: 略
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