2022-2023学年山西省长治市柏子中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知sin(α)=,则cos(α+)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】利用诱导公式化简要求的式子,可得结果.
【解答】解:∵sin(α)=,则cos(α+)=cos[+(α﹣)]=﹣sin(α﹣)=﹣,
故选:A.
2. 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A6 B 8 C12 D 18
参考答案:
C
3. 已知满足:,则( )
A. B. C.3 D.2
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】利用(a+b)2=2(a2+b2)﹣(a﹣b)2,从而代入化简即可.
【解答】解:∵,
∴2=2(2+2)﹣2
=2(4+1)﹣6=4,
∴=2,
故选:D.
【点评】本题考查了完全平方公式的应用及平面向量数量积的应用.
4. 已知是三角形的一个内角且,则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
参考答案:
C
略
5. 已知数列{an}中,,,则的值为
A.48 B.49 C.50 D.51
参考答案:
D
6. 已知集合A={x|x≥3},B={x|(x-2)(x-4)<0},则A∩B=( )
A.{x|x<2} B.{x|3≤x<4}
C.{x|3≤x≤4} D.{x|x>4}
参考答案:
B
7. 的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
8. 已知(x,y)在映射f下的象是(x+2y 2x-y),那么(3,1)在f下的原象为( )
A、(-3,-4) B、(-4,-6) C、(1,1) D、(1,-1)
参考答案:
B
略
9. 设定义在[-1,7]上的函数的图象如图(1)示,则关于函数的单调区间表述正确的是
A.在[-1,1]上单调递减 B.在单调递减,在上单调递增;
C.在[5,7]上单调递减 D.在[3, 5]上单调递增
参考答案:
B
略
10. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是=0(x∈R),其中正确命题的个数是( )
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是定义域为的偶函数,当时,(符号表示不超过的最大整数),若方程有6个不同的实数解,则的取值范围是 .
参考答案:
12. (3分)若x∈R,n∈N*,规定:=x(x+1)(x+2)…(x+n﹣1),例如:=(﹣4)?(﹣3)?(﹣2)?(﹣1)=24,则f(x)=x?的奇偶性为()
A. 是奇函数不是偶函数 B. 是偶函数不是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
参考答案:
B
考点: 函数奇偶性的判断.
专题: 新定义.
分析: 根据定义先求出函数f(x)=x?的表达式,然后利用函数奇偶性的定义进行判断.
解答: 由定义可知,f(x)=x?=x(x﹣2)(x﹣1)(x)(x+1)(x+2)=x2(x2﹣1)(x2﹣4)
因为f(﹣x)=x2(x2﹣1)(x2﹣4)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数不是奇函数.
故选B.
点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,利用新定理求出函数f(x)的表达式,是解决本题的关键.
13. 若,则= ;
参考答案:
略
14. 已知数列的通项公式为,是其前项之和,则使数列的前项和最大的正整数的值为 ▲
参考答案:
10
15. 关于函数,有下面四个结论:
(1)是奇函数; (2)恒成立;
(3)的最大值是; (4) 的最小值是.
其中正确结论的是_____________________________________.
参考答案:
(2)(4)
16. 袋里装有5个球,每个球都记有1~5中的一个号码,设号码为x的球质量为(x2-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们质量相等的概率是___ .
参考答案:
1/5
略
17. 已知函数f(x)=,则不等式f(f(x))≤3的解集为 .
参考答案:
(﹣∞,]
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】函数f(x)=,是一个分段函数,故可以将不等式f(f(x))≤3分类讨论,分x≥0,﹣2<x<0,x≤﹣2三种情况,分别进行讨论,综合讨论结果,即可得到答案.
【解答】解:当x≥0时,f(f(x))=f(﹣x2)=(﹣x2)2﹣2x2≤3,即(x2﹣3)(x2+1)≤0,解得0≤x≤,
当﹣2<x<0时,f(f(x))=f(x2+2x)=(x2+2x)2+2(x2+2x)≤3,即(x2+2x﹣1)(x2+2x+3)≤0,解得﹣2<x<0,
当x≤﹣2时,f(f(x))=f(x2+2x)=﹣(x2+2x)2≤3,解得x≤﹣2,
综上所述不等式的解集为(﹣∞,]
故答案为:(﹣∞,]
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量,且,
(1)若=,求A;
(2)若△ABC的外接圆半径为1,且试确定x的取值范围.
参考答案:
(1)或;(2)
【分析】
由已知条件,即可求得;
(1)利用两角的关系,结合辅助角公式即可求得;
(2)将目标式转化为的混合式,令,利用其与之间的关系,求得函数的值域,即可求得结果.
【详解】因为且,
所以,由正弦定理,得,
即.
又,故,因为,
所以即.
(1)=
,
得,.
(2)若则,由正弦定理,得
设=,则,
所以
即,
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形,涉及之间的关系以及换元法,属综合中档题.
19. (本小题满分14分)
某种产品的广告费用支出万元与销售额万元之间有如下的对应数据:
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计广告费用为12万元时,销售收入的值.
参考答案:
解:(1)作出散点图如下图所示:
(2)求回归直线方程.
,,
,
,
,
,
.
因此回归直线方程为;
(3)时,预报的值为万元.
略
20. (本题满分12分)已知在等边中,点为线段上一点,且
.
(Ⅰ)若等边三角形边长为,且,求;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,,
,
∴.
(Ⅱ)设等边三角形的边长为,则
,
.
即.
又,.
略
21.
参考答案:
解析:设扇形的半径为r,弧长为,则有
∴ 扇形的面积
22. 在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.
(1)求四棱锥S﹣ABCD的体积;
(2)求直线AB与直线SD所成角的大小.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题.
【分析】(1)直接利用高是SA,代入体积公式即可求四棱锥S﹣ABCD的体积;
(2)先根据BC∥AD,AB⊥BC?AB⊥AD;再结合SA⊥面ABCD?SA⊥AB可得AB⊥面ASD即可找到结论.
【解答】解:(1)因为VS﹣ABCD=Sh=×(AD+BC)?AB?SA=.
故四棱锥S﹣ABCD的体积为.
(2)∵BC∥AD,AB⊥BC?AB⊥AD,①
又因为:SA⊥面ABCD?SA⊥AB ②
由①②得 AB⊥面ASD?AB⊥SD
故直线AB与直线SD所成角为90°.
【点评】本题主要考查体积计算以及线线所成的角.解决第二问的关键在于得到AB⊥面ASD这一结论.