湖南省益阳市筑金坝中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列的前项和为,若,则数列的公差是 ( )
A. B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
略
2. 如图,矩形长为5,宽为3,在矩形内随机撒100颗黄豆,数得落在椭圆内的黄豆数为80颗,以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为( )
A.11 B.9 C.12 D.10
参考答案:
C
3. 下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.a3>b3
参考答案:
A
4. 已知两个数列3,7,11,…,139与2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
5. 函数f(x)=,则函数h(x)=f(x)﹣log4x的零点个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
参考答案:
D
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】函数h(x)=f(x)﹣log4x的零点个数?函数f(x)与函数y=log4x的图象交点个数.
画出函数f(x)与函数y=log4x的图象(如图),根据图象可得答案.
【解答】解:函数h(x)=f(x)﹣log4x的零点个数?函数f(x)与函数y=log4x的图象交点个数.
画出函数f(x)与函数y=log4x的图象(如图),
根据图象可得函数f(x)与函数y=log4x的图象交点为5个.
∴函数h(x)=f(x)﹣log4x的零点个数为5个.
故选:D
6. 已知复数,那么对应的点位于复平面内的
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
D
7. 双曲线的焦距是
A. B.4 C. D.8
参考答案:
C
8. 右图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=( )
A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用完全平方式展开化简即可.
【解答】解:(1+i)2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i;
故选:A.
10. 右图是一个几何体的三视图,则此几何体的直观图是( )
A B C D
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 采用系统抽样从含有8000个个体的总体(编号为0000,0001,…,,7999)中抽取一个容量为50的样本,已知最后一个入样编号是7900,则最前面2个入样编号是
参考答案:
0060,0220
12. 已知函数的图象恒过定点(m,n),且函数在 [1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是_______.
参考答案:
【分析】
先求出m=-1,n=3.再利用二次函数的图像和性质分析得解.
【详解】由题得函数的图象恒过定点,
所以m=-1,n=3.
所以, 函数的对称轴方程为,
函数在上单调递减,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查对数型函数的定点问题,考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
13. 在棱长为1的正方体中,BD与所成的角是 ,AC与所成的角是 。
参考答案:
,
略
14. 若f(x)=﹣x2+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是 .
参考答案:
(-∞,-1]
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】先对函数进行求导,根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案.
【解答】解:由题意可知,在x∈(﹣1,+∞)上恒成立,
即b<x(x+2)在x∈(﹣1,+∞)上恒成立,
由于y=x(x+2)在(﹣1,+∞)上是增函数且y(﹣1)=﹣1,所以b≤﹣1,
15. 无论m取何实数时,直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点,则定点的坐标为
参考答案:
(7/2,5/2)
16. ① 若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题
② 命题“若,则”的否命题为“若,则”
③ “”是“ ”的充分不必要条件
④ 命题“”的否定是“ ”
上述判断正确的是_____________.
参考答案:
④
略
17. 用0、1、2、3、4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶数_ __个.
参考答案:
30
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C的离心率为,点在椭圆C上.直线l过点(1,1),且与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点O为坐标原点,延长线段OM与椭圆C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求出此时直线l的方程,若不能,说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)根据题意,可得,解得a2与b2的值,代入椭圆的标准方程即可得答案;
(Ⅱ)根据题意,分2种情况讨论,(1)当直线l与x轴垂直时,分析可得直线l的方程为x=1满足题意;(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l为y=kx+m,分析A、B、M的坐标,将y=kx+m代入.得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由根与系数的关系可得M的坐标,进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标,代入椭圆的标准方程可得,进而分析可得,解可得k、m的值,即可得答案.
【解答】解:(I)由题意得,解得a2=4,b2=1.
所以椭圆C的方程为.…
(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形,分2种情况讨论:
(1)当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1满足题意;
(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l:y=kx+m,显然k≠0,m≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+m代入.得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,.
故,.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即.
则.
由直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),过点(1,1),得m=1﹣k.
则,
则(4k2+1)(8k﹣3)=0.
则.满足△>0.
所以直线l的方程为时,四边形OAPB为平行四边形.
综上所述:直线l的方程为或x=1.…
19. (本小题满分12分)
已知椭圆:,直线与椭圆交于两点,直线与椭圆交于两点,点坐标为,直线和斜率乘积为.
(1)求椭圆离心率;
(2)若弦的最小值为,求椭圆的方程.
参考答案:
(1)设,由对称性得
将代入椭圆得
------------2分
又∴∴∴ ---------------------5分
(2)椭圆方程可化为联立
得 ---------------------------------7分
设O为坐标原点,则同理可得
∴ -------------------------------10分
当且仅当即时取等号,此时∴
∴椭圆方程为 --------------------------------12分
20. 已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)根据a2=2b2以及e的值,求出a,b的值,从而求出椭圆的方程;
(Ⅱ)设出直线AC的方程,联立椭圆的方程求出|AC|,|BD|的表达式,结合不等式的性质求出四边形ABCD的面积的最小值即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵,∴,∴a2=2b2,
∵直线l:x﹣y+2=0与圆x2+y2=b2相切∴,
∴b=2,b2=4,∴a2=8,
∴椭圆C1的方程是.…
(Ⅱ)当直线AC的斜率存在且不为零时,
设直线AC的斜率为k,A(x1,y1),C(x2,y2),
则直线AC的方程为y=k(x﹣2).
联立.
所以,
….
由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得
因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积为…
由
所以时取等号.…
易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积S=8
综上可得,四边形ABCD面积的最小值为.…
21. 如图1,在中,= 90°,,分别是上的点,且∥,,将沿折起到的位置,使,如图2.
(1)求证:⊥平面;
(2)若是的中点,求与平面所成角的大小;
(3)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?
说明理由.
参考答案:
证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D,
∴DE⊥平面A1CD,
又∵A1C?平面A1CD,∴A1C⊥DE又A1C⊥CD,CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
(2)解:如图建系C﹣xyz,则D(﹣2,0,0),A1(0,0,2),B(0,3,0),E(﹣2,2,0)
∴,
设平面A1BE法向量为
则∴∴
∴
又∵M(﹣1,0,),∴=(﹣1,0,)
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
(3)解:设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3]
∴,
设平面A1DP法向量为
则∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则,
∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直
略
22. 已知m∈R,对p:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.
参考答案:
解:由题设知x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
a∈[1,2]时,的最小值为3,要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只需
|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.,综上,要使“p且q”为真命题,只需p真q真,
即 解得实数m的取值范围是(4,8].